Если вероятность появления случайного события
в каждом испытании постоянна, то вероятность
того, что в
испытаниях событие
наступит ровно
раз, приближённо равна:
, где
.
При этом, чем больше , тем рассчитанная вероятность
будет лучше приближать точное значению
, полученное (хотя бы гипотетически) по формуле Бернулли. Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат
может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность
ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность при значениях
, близких к нулю либо единице. По этой причине ещё одним критерием эффективного использования формулы
является выполнение неравенства
(
).
Так, например, если , то
и применение теоремы Лапласа для 50-ти испытаний оправдано. Но если
и
, то
и приближение
(к точному значению
) будет плохим.
Биномиальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия
Рассмотрим серию независимых испытаний проведенных в условиях схемы Бернулли, в ходе которых появлялось событие
с вероятностью
, одинаковой для всех испытаний.
Необходимо определить закон распределения случайной величины числа появлений события
. Для этого нужно определить возможные значения
и их вероятности. Минимальное значение
равно нулю, что соответствует ситуации, когда в серии
испытаний событие
не появилось; максимальное значение
соответствует «успеху» во всех испытаниях серии и равно
. Очевидно, что случайная величина
числа появлений события
в серии
испытаний принимает значения
. Остается найти соответствующие вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:
|
,
где
,
.
Эта формула является аналитическим выражением искомого закона распределения. Эта формула еще называется биномиальной, так как ее правая часть представляет собой -й член бинома Ньютона:
.
Отсюда сразу видно, что для полученного закона биномиального распределения вероятностей числа появления события при
независимых испытаниях выполняется условие нормировки, т.е. сумма всех вероятностей равна единице:
.
Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в
независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события
в каждом испытании.
Доказательство. Случайная величина распределена по биномиальному закону:
(
),
где .
Величину можно рассматривать, как сумму независимых случайных величин
, где
(
) – число появлений события
в
м испытании. Случайная величина
принимает лишь два значения: 1, если событие
появилось в
м испытании, и 0, если в
м испытании события
не произошло.
Вероятности этих событий и
, а математическое ожидание:
(
).
Следовательно, используя теорему о математическом ожидании суммы, получим:
.
Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в условиях схемы Бернулли совпадает со средним числом появлений события
в данной серии испытаний.
Дисперсия числа появлений события в
независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события
в одном испытании:
.