Вопросы к экзамену по курсу
«Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
I-й курс, 1-й семестр, 2013/2014 учебный год
Для направления: прикладная математика и информатика, физика, ядерная физика и технологии
1. Матрицы. Равенство матриц. Виды матриц. Линейные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, возведение в степень, транспонирование матриц. Их свойства.
2. Определители 2-го и 3-го порядка. Правило треугольников. Правило Саррюса. Определители n-го порядка. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа (без доказательства). Определитель матрицы треугольного вида.
3. Свойства определителей.
4. Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Способы нахождения обратной матрицы. Матричные уравнения. Теорема о существовании и единственности решения матричного уравнения.
5. Ранг матрицы. Его свойства. Теорема о сохранении ранга матрицы при элементарных преобразованиях. Способы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
6. Линейная зависимость и независимость строк матрицы. Свойства линейной зависимости и независимости. Теорема о ранге матрицы.
7. Системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Решение системы. Совместные, определённые, равносильные системы. Теорема Кронекера-Капелли.
8. Системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Теорема Крамера.
9. Равносильность систем линейных уравнений при элементарных преобразованиях строк. Метод Гаусса. Общее, базисное, частное решение.
10. Однородные системы линейных уравнений. Их свойства. Фундаментальная система решений. Теорема о фундаментальных решениях однородной системы. Структура общего решения однородной системы.
11. Комплексные числа. Арифметические операции на множестве комплексных чисел. Их свойства. Сопряженные числа, их свойства. Тригонометрическая форма комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
12. Многочлены. Корень многочлена. Теорема Безу. Алгебраические уравнения. Основная теорема алгебры (без доказательства). Теорема о разложении многочлена на множители. Кратные корни многочлена. Разложение многочлена на множители.
13. Линейное пространство. Примеры линейных пространств. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейной зависимости и независимости векторов.
14. Размерность и базис линейного пространства. Примеры. Теорема о разложении вектора по базису.
15. Координаты вектора в данном базисе. Линейные операции в координатной форме. Матрица перехода к новому базису, её свойства. Связь между координатами вектора в разных базисах.
16. Изоморфизм линейных пространств. Свойства изоморфизмов. Теорема об изоморфизме линейных пространств.
17. Евклидово пространство. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора, свойства длины. Угол между векторами в евклидовом пространстве. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.
18. Ортонормированная система векторов. Теорема о линейной независимости ортонормированной системы векторов. Теорема о существовании ортонормированного базиса. Метод ортогонализации Грама-Шмидта.
19. Линейные отображения. Ядро и образ отображения. Примеры. Теорема об образе и ядре линейного отображения. Ранг и дефект линейного отображения.
20. Линейные операторы. Арифметические операции над ними. Структура линейного оператора. Матрица линейного оператора. Примеры.
21. Связь матриц линейного оператора в разных базисах. Определитель матрицы линейного оператора в разных базисах. Теорема о ранге линейного оператора.
22. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Нахождение собственных векторов линейного оператора. Характеристический многочлен.
23. Диагональный вид матрицы линейного оператора. Независимость собственных векторов.
24. Линейные, билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Преобразование матрицы квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании.
25. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
26. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Метод Якоби.
27. Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм.
28. Знакоопределённость квадратичных форм. Критерий Сильвестра.
Лектор: к.т.н., доцент Богомолова Е.В.