Исследование устойчивости замкнутых систем и качества управления
Лабораторная работа № 3
Исследование замкнутой системы автоматического управления (САУ) второго порядка
Цель работы: исследование статических и динамических свойств систем автоматического управления второго порядка с помощью прикладной программы EWB 5.12. и сравнение их с результатами теоретических расчетов.
Задание: выполнить анализ схемы, приведенной на рис.3.1.а., изменением номиналов резисторов обеспечить требуемые величины Т и k. Для чего: найти передаточную функцию САУ, построить логарифмические частотные характеристики, определить запасы устойчивости схемы, рассчитать переходной процесс и построить переходную функцию. Результаты расчетов проверить путем моделирования при R2 = R5 = R6 = 50 кОм, C = C = 0.1мкф., коэффициент демпфирования ξ = 0,4. Остальные данные для моделирования приведены в табл.1.(№-последняя цифра шифра).
Таблица 1
| № | ||||||||||
| k | ||||||||||
| T,мс |
Основы теории
Функциональная схема САУ выполнена на операционных усилителях, реализующих инерционное (W = K/(1+Tp)), интегрирующее (W = 1/Tp) и пропорциональное звенья (W = K). На выходе усилителя DA 1 происходит преобразование и суммирование напряжений по каждому из его входов. Его передаточные функции относительно входного напряжения 
и напряжения обратной связи 
представляются выражениями
.
Полученный сигнал проходит через последовательно включенное интегрирующее звено на усилителе DA 2 с передаточной функцией 
.
Выход усилителя DA 2 является выходом САУ и сигнал с него через усилитель DA 3 с передаточной функцией 
поступает на второй вход усилителя DA 1.
Рис. 3.1 — САУ на операционных усилителях (а)
и ее структурная схема (б)
На рис. 3.1, б приведена структурная схема, соответствующая САУ, изображенной на рис. 3.1, а. Эквивалентная передаточная функция Wyea участка схемы, охваченного обратной связью, рассчитывается по выражению:
Таким образом, передаточная функция W(p) замкнутой САУ, изображенной на рис. 3.1, а, будет равна
3.1
где 
, 
, 
.
Поскольку 
, то при известных значениях коэффициента передачи - k, постоянной времени - Т, коэффициенте демпфирования - 
, номиналы остальных элементов схемы можно определить: R1 = R/k, R4 = T2/RC2, R3 = T/2C ξ(3.2)
Формулы для частотных характеристик:
,
,
,
.
Частотные характеристики приведены на рис. 3.2. Они существенно зависят от величины коэффициента демпфирования . При 
АЧХ 
(рис. 3.2, а) монотонно уменьшается с увеличением частоты. При 
на ней появляется «горб», который увеличивается по мере уменьшения . На ЛАЧХ (рис. 3.2, б) «горб» проявляется при 
, при больших значениях коэффициента демпфирования ЛАЧХ приближается к ее асимптотическому варианту (имеет нулевой наклон до частоты сопряжения 
и накло –40дБ/дек после этой частоты).
Рис. 3.2 — Частотные характеристики
Величина «горба» на частоте 
может быть оценена по соотношению:
.
Переходная функция может быть получена по формуле 
при комплексных сопряженных полюсах (при 
):
. (3.3)
Рис. 3.3 — Переходные характеристики
На рис. 3.3 показаны переходные характеристики колебательного звена, рассчитанные по выражению (3.3) для различных значений коэффициента демпфирования . Частота собственных колебаний переходной характеристики оценивается по выражению 
. Ее можно также определить и по АЧХ (см. рис. 3.2 а, частоты ωк1 и ωк2, соответствующие максимальным значениям на АЧХ). Огибающая (см. пунктир на рис. 3.3) определяется формулой 
. Время переходного процесса tn на практике оценивается соотношением
tn = 3Т /ξ
Приняты следующие обозначения:
W(p) – передаточная функция системы.
W(jω), АФЧХ – амплитудно-фазовая частотная характеристика.
А(ω), АЧХ – амплитудная частотная характеристика – зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты.
ФЧХ, φ(ω) – зависимость разности начальных фаз выходного и входного сигналов от частоты.
Частота среза 
– частота, на которой ЛАЧХ равна нулю.
Фаза среза φСР – разность начальных фаз входного и выходного сигналов на частоте среза.
Частота ωπ – частота, на которой ЛФЧХ равна 
.
Диаграмма Боде – логарифмические АЧХ и ФЧХ, построенные в логарифмических частотных осях (lgω) друг под другом, L(ω), φ(ω).
∆A – запас устойчивости по амплитуде (запас по модулю) - величина, определяемая при фазовом сдвиге -180о и показывающая, во сколько раз может быть увеличен коэффициент усиления системы, прежде чем она окажется на границе устойчивости.
∆L–логарифмический запас устойчивости по амплитуде, дБ, (определяется по диаграмме Боде).
∆φ – запас устойчивости по фазе – величина, определяемая на частоте ωСР, когда А (ω СР) = 1, показывающая, какой дополнительный отрицательный фазовый сдвиг допустим в системе, прежде чем она окажется на границе устойчивости, (определяется по диаграмме Боде).
Порядок выполнения лабораторной работы
3.2.1Проверить установку номиналов R2= R5 = R6 =50кОм, C = 0.1мкф. Необходимые параметры остальных элементов схемы (R1, R3, R4) рассчитать по формулам 3.2.
3.2.2. Собрать в среде EWB схему 3.1.а. При наборе электронных моделей в среде EWB необходимо соблюдать следующие правила: входные сопротивления операционных усилителей принимать равными 50 кОм; напряжение на выходе любого операционного усилителя не должно превышать 10В; частотные характеристики снимаются с помощью генератора синусоидальных сигналов, амплитуда синусоиды не более 1-2 В, частота любая; при работе с двухканальным осциллографом необходимо изменять длительность развертки и усиление входного канала. Операционный усилитель имеет два входа – инвертирующий (-) и не инвертирующий (+),
3.2.3 Снять логарифмические амплитудную L(ω) и фазовую частотные φ (ω) характеристики. Результаты измерений записать в таблицу 2.
Таблица 2.
| ω | ||||||||||
| L(ω | ||||||||||
| φ (ω) |
Примечание: фазовые сдвиги измерять по осциллографу.
3.2.4. Построить логарифмические амплитудную L(ω) и фазовую частотные φ (ω) характеристики, определить частоту среза ωСР, значение фазы среза φСР на этой частоте, запас устойчивости по амплитуде ∆L и фазе ∆φ.
3.2.4. Подать на вход САУ сигнал типа меандра. Снять переходные характеристики САУ для ξ=0,3 и 0,4. Результаты измерений записать в таблицу 3. Измерения выполнять с использованием осциллографа.
Таблица 3
| tсек | ||||||||||
| U(t) |
3.2.5 Построить переходные характеристики САУ. Записать максимальное Um и установившееся Uу значения выходного сигнала. Определить время переходного процесса tn.
3.2.6 Сравнить расчетные и экспериментальные результаты.
3.2.7 Подать на вход САУ линейно-изменяющееся напряжение, оценить нелинейность выходного сигнала.