Достаточное условие сходимости итерационного процесса

Пусть на отрезке [a, b] уравнение x=f(x) имеет единственный корень и выполняются условия:

1. Функция y=F(x) определена и дифференцируема на [a, b];

2. [a, b] для всех х из [a, b];

3. Существует такое действительное число q, что , для всех х из [a, b];

Тогда итерационная последовательность x_n=f(x_n-1) сходится при любом начальном значении x₀ [a, b].

Это условие не является необходимым, т.е. итерационная последовательность может сходиться и в том случае, если условия теоремы не выполняются.

Оценка погрешности метода итерации

Пусть , тогда или . Это значит, что процесс итерации надо продолжать до тех пор, пока модуль разности двух соседних приближений не станет меньше .

 

1.5. Уточнение корней методом хорд

Пусть уравнение F(x)=0 имеет единственный корень на отрезке [a, b]. Если отрезок [a, b] достаточно мал, то можно считать, что функция y=F(x) монотонна на этом отрезке и не меняет направление выпуклости. Значит на отрезке [a, b] нет точек максимума и минимума, т.е. . Т.к. направление выпуклости не меняется то и . Получаем четыре вида графиков, которые объединяются в два типа.

I. тип. Условие: , где x- любая точка [a, b].     B

II. тип. Условие: , где x- любая точка [a, b].

 

Пусть x* - искомый корень уравнения F(x)=0. Заменим кривую графика на хорду АВ. Уравнение прямой, проходящей через точки А (а, F(а)) и В(b, F(b)) имеет вид: , где (x, y) – любая точка прямой АВ. В качестве этой точки возмем точку пересечения хорды с осью ОХ, т.е.

(x₁, 0). Получим или.

Рассмотрим случай, когда кривая графика функции y=F(x) относится к I типу. Через точки А₁ и В проводим следующую хорду. Она пересекает ось ОХ в точке х_2. Аналогично получаем

,

…………………………………

(1)

 

Полученная таким образом формула (1) называется формулой метода хорд для кривых I-го типа.

Очевидно, что последовательность значений х₁, х₂, х₃, …,х_n стремится к корню уравнения х^*, а значит этот корень можно найти с заданной точностью.

В рассмотренном выше случае для кривых I-го типа, правым концом всех проведенных хорд была точка В. Если, кривая относится ко II-му типу, то неизменным концом хорд будет точка А. Значит в формуле (1) b поменяется на а. Формула будет иметь вид:

 

(2)

Если на n-ом шаге , то считается, что необходимая точность е достигнута.

1.6. Уточнение корней методом касательных

При уточнении корней методом касательных все функции делятся на два типа, как и в методе хорд. Рассмотрим кривую I-го типа.

Проведем касательную к графику функции в точке В. Она пересечет ось ОХ в точке х_1. Через эту точку проведем прямую перпендикулярную оси ОХ до пересечения с графиком функции. Получим точку А₁. Через неё опять проведем касательную. Получим точку х₂. Продолжая этот процесс, получим последовательность х₁, х₂, х₃, …,х_n, сходящуюся к х^*.

Уравнение касательной к графику функции F(x)=0 в точке х=b имеет вид . Т.к. эта касательная пересекает ось ОХ в точке (х₁, 0), то . Значит

Если, кривая относится ко II-му типу, то первую касательную к графику функции надо проводить в точке А и

Дальнейший расчет значений х₂, х₃, …,х_n не зависит от типа кривой и в обоих случаях вычисляется по формуле

Если на n-ом шаге , то считается, что необходимая точность е достигнута.

1.7. Уточнение корней комбинированным методом хорд и касательных

Методы хорд и касательных дают приближение корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом. В этом случае процесс уточнения корня идет быстрее.

Метод реализуется по следующей схеме:

1. По методу хорд находят первое приближение корня .

2. По методу касательных находят . Если кривая относится к I-му типу, то . Если ко II-му типу, то .

3. По методу хорд .

4. По методу касательных .

Шаги 3 и 4 повторяются до тех пор, пока . Как только можно считать корень найденным .