Принцип сжимающих отображений. Метод итераций.

Лабораторная работа № 4.

Принцип сжимающих отображений. Метод итераций

(практикум 5).

Метрические пространства. Полные метрические пространства.

Метрическим пространством называется пара состоящая из множества и заданного на этом множестве расстояния (метрики) , т.е. действительной, неотрицательной функции двух элементов множества, удовлетворяющей аксиомам расстояния: 1. 2. (аксиома симметрии); 3. (аксиома треугольника).

В пространстве часто используются следующие расстояния:

а)

б)

в) (евклидова метрика),

Метрические пространства с соответствующими расстояниями обозначаются

Упражнение 1. Создать M-функции, которые вычисляют расстояние между точками в различных метриках. Проверить их работу для расстояний между точкой и точками и Вычислить расстояния между точками и в различных метриках.

Открытым шаром называется множество точек метрического пространства для которых Замкнутым шаром называется множество точек метрического пространства для которых

Упражнение 2. Создать M-функцию, строящую изображение замкнутого шара в для различных метрик. Построить шары в метриках

Принцип сжимающих отображений. Метод итераций.

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если для любого найдётся такое что при всех выполняется неравенство Метрическое пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность в нём сходится, т.е. для этого пространства справедлив критерий Коши сходимости последовательности.

Пространства являются полными.

Пусть - полное метрическое пространство. Оператор отображающий в называется сжимающим, если .

Пример 1. Если функция определена на промежутке , и имеет непрерывную производную , удовлетворяет условию , то в полном метрическом пространстве вещественных чисел отрезка с метрикой определен оператор : , . В силу теоремы Лагранжа имеем , где и следовательно, - сжимающий оператор.

Принцип сжимающих отображений. Пусть - полное метрическое пространство, а оператор отображающий в - сжимающий. Тогда уравнение имеет и притом единственное решение.

Принцип сжимающих отображений дает метод отыскания приближенного решения уравнения . Именно, если выполняются условия приведенной теоремы, то последовательность точек метрического пространства , , …, , …, где , выбирается произвольно, , , …, , …, сходится к - решению уравнения

Этот метод решения уравнения (1) и называется методом итераций. Справедлива оценка погрешности от замены точного решения уравнения (1) его -ым приближением :

.

Пример 2. С точностью до методом итераций найти решение уравнения в интервале .

Так как , то процесс итераций для исходного уравнения расходится. Перепишем уравнение в виде (при переходе к обратной функции здесь получаем не , а , так как по определению , а по условию, ).

Поскольку при то для уравнения получаем сходящийся итерационный процесс.

Полагаем . Тогда , …

Чтобы оценить число итераций, необходимых для достижения точности воспользуемся формулой . Для производную функции оценим сверху:

.

Тогда неравенство дает , следовательно, . Учитывая, что , получаем .

Таким образом, начиная с седьмого, члены последовательности отличаются от точного решения уравнения менее, чем на , , .

Упражнение 3. Положив вывести 10 первых членов последовательности заданной рекуррентной формулой Сделать вывод.

Упражнение 4. Создать M-функцию для решения уравнения с заданной точностью с выводом последовательности приближений. Входными параметрами являются функция параметр сжатия начальное приближение точность решения Проверить работу для уравнения из примера 2. С точностью 0.0001 решить уравнение Сравнить с ответом, полученными при непосредственном решении в МatLab.