В квартернионном время-пространстве появляется свойство некоммутативности. Это заставляет задуматься: а является ли полученная математическая структура тем, что мы обычно называем континуумом? Ведь здесь перед нами алгебра, а не геометрия.
Хочу напомнить, что еще в XIX веке Уильям Гамильтон сформулировал перспективную задачу: если есть геометрия как наука о пустом пространстве, то - просто по аналогии - можно представить некую науку о "чистом времени". Более того, он предположил, что алгебра - это и есть такая наука, просто мы не улавливаем в ней скрытую временную специфику, не понимаем - как НА САМОМ ДЕЛЕ в алгебраических уравнениях воплощаются внутренние свойства ВРЕМЕНИ. Открытие некоммутативной алгебры Гамильтоном произошло в результате его попыток смоделировать время в "Теории алгебраических пар чисел", и остается только поражаться интуиции этого великого математика.
Тем не менее, переход от непрерывной континуальности к рядам чисел выглядит проблематично. Здесь подспудно присутствует и некая философская пара-догма: если геометрические отношения воспринимаются как нечто объективно заданное метрикой окружающего Универсума, то числа трактуются как некий продукт нашего ума, склонного к абстракциям и комбинаторике. (По известному афоризму Л.Кронекера: "Натуральные числа создал Бог, а остальные - дело рук человеческих".) Если для физиков квантовая прерывность обоснована ссылками на результаты экспериментов, то для математики никаких "числовых квантов" не существует - любая значимая величина бесконечно делима. Числовая дискретность растворяется в непрерывности, бесконечно малое обращается в нуль.
Странная ситуация сложилась: классический математический анализ формировался на основе классической механики, в современной физике таковая уже является делом прошлого, однако мы все еще строим математические модели на базе представлений стандартного математического анализа и стандартного понимания предела.
Ричард Фейнман в своей книге "Характер физических законов" пишет: "Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям. Кроме того, она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры всех частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны. " (Richard Feynman, The Character of Physical Law. Русский перевод: Р.Фейнман. Характер физических законов. М.: "Мир", 1968, с. 184.)
А вот какое примечательное суждение высказано в известной книге Д.Гильберта и П.Барнайся: "На самом деле мы вовсе не обязаны считать, что математическое пространственно-временное представление о движении является физически осмысленным также и в случаях произвольно малых пространственных и временных интервалов. Более того, у нас имеются все основания предполагать, что, стремясь иметь дело с достаточно простыми понятиями, эта математическая модель экстраполирует факты, взятые из определенной области опыта, а именно из области движений в пределах того порядка величин, который еще доступен нашему наблюдению... Подобно тому, как при неограниченном пространственном дроблении вода перестает быть водой, при неограниченном дроблении движения также возникает нечто такое, что едва ли может быть охарактеризовано как движение" (Гильберт Д., Барнайс П., "Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики", М., "Наука", 1979, с. 41.).
Прошу прощения за столь обширное цитирование, оно понадобилось, чтобы обрисовать предпосылки важной проблемы:
1. Существует принципиальное расхождение между современными физическими представлениями о движении и классическими понятиями анализа.
2. Допустима мысль о "математической модели", подходящей для описания микро движения в пределах "недоступного наблюдению порядка величин".
Однако - НА САМОМ ДЕЛЕ - речь надо вести не о МОДЕЛИ, и не о ПОСТРОЕНИИ. Речь идет о том, чтобы внутри самой логики классической математики найти основания для дальнейшего развития теории.
Сейчас принята идеология, которую можно назвать модельным конструктивизмом: математика рассматривается как поставщик абстрактных конструкций для теоретического моделирования результатов физических наблюдений. Как выразился Бертран Рассел: "Математическая концепция дает абстрактную логическую схему, под которую можно подогнать подходящими манипуляциями эмпирический материал..." (Б.Рассел "Введение в математическую философию", М.: "Гнозис", 1996.с. 101). Теперь математика - это не язык Логоса, Объективного Духа, а символический язык науки для описания реальности. Сообразно этому, конструируются все более и более абстрактные схемы, математические концепции физиков-теоретиков уходят все дальше и дальше от очевидной понятности, свойственной "математическим началам натуральной философии". Создается впечатление, что абстрактные объекты выступают в роли допотопных слонов и черепах, с помощью которых древние "моделировали" Вселенную...
Но реальное развитие науки идет иначе - я бы назвал этот путь ЛОГОГЕНЕЗОМ. То есть новые сущности "не измышляются", а в естественной логике теории отыскиваются основания, способные развиться в полноценную математическую науку, претендующую на ИСТИННОСТЬ. Если принять этот философский подход, то следует согласиться с Фейнманом - классический анализ НЕ СООТВЕТСТВУЕТ РЕАЛЬНОСТИ, но не потому, что он неверен, а потому, что в его основаниях пока не выявлены логические возможности, позволяющие привести математическую теорию в соответствие с физическими данными.
Однако можно ли перекинуть логический мостик между континуумом и числом? Автор не является профессиональным математиком, не берется утверждать, что классический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем, должен быть дополнен нестандартным анализом, в котором используются гипердействительные актуально бесконечно малые числа. Логическую правомерность нестандартной модели анализа показал в 60-е годы прошлого века Абрахам Робинсон, но до сих пор остается вопросом: "Существуют ли гипердействительные числа в квантово-релятивистской вселенной?" Иными словами, можем ли мы расширять поле действительных чисел только потому, что придумали новые абстрактные объекты, или надо поискать для этого какие-то предметные основания?
Мы только что рассмотрели квартернионное время-пространство, составляющее дополнительную пару с обычным 4-мерным псевдоевклидовым континуумом Минковского. Мы видим как безразмерная единица становится коэффициентом пропорциональности, связывающим вещественную и мнимую оси, как она расщепляется на две размерные константы, - однако математический статус такого расщепления остается совершенно непонятным. Является ли это отражением свойств Унивесума или это только особенность произвольного формального построения?
Произошла странная вещь: обычная числовая ось нами стандартно мыслится как нечто, где на одном конце ноль, а на другом - бесконечность. Где-то "возле" нуля маячит единица. Теперь вдруг единица как-то раздвинулась, освободив место для размерных величин, при этом бесконечность и нуль сомкнулись. Последнее следует пояснить.
Для фиксации движения мы можем использовать только два фундаментальных параметра - единицы времени t[с] и пространства x[м]. При этом очевидно, что их отношение имеет точное количественное выражение в любом случае: если мы соотносим x/t или t/x. Стандартное определение покоя - это 0[м/с], но одновременно и ∞[с/м], что обычно не учитывается из-за непонятности и ненужности такого количественного выражения. Однако еще Готфрид Лейбниц при создании математического анализа неоднократно размышлял над этим вопросом. Он писал: "Покой может рассматриваться как бесконечно малая скорость или как бесконечно большая медленность" (Г.В.Лейбниц. Сочинения в четырех томах. Т. 1. М.: "Мысль" с. 205. См. также т. 3, с. 199.).
У Лейбница есть еще одно примечательное рассуждение: он отождествляет нулевую скорость движения по окружности с бесконечной скоростью, когда "каждая точка окружности должна всегда находиться в одном и том же месте" (Там же: Т. 3, с. 290). То есть логически отождествляются не только 0[м/с] и ∞[с/м] (соответственно ∞[м/с] и 0[с/м]), но также 0[с/м] и ∞[с/м] при циклическом движении. То есть шкала величин, на которой лежат значения скорости вращений оказывается как бы замкнутой.
Другая особенность: когда мы строили модель относительных вращений, было сказано, что реальная частота вращения не может быть задана, измеряется только относительное число оборотов, - но тогда такая "реальная частота" может быть любой, сколь угодно большой. Не проще ли было бы сразу начать с реальной единичной частоты в один оборот?
Синхронизация вращающихся систем возникала, когда все вращающиеся радиусы ложились на одну базовую прямую. Легко понять, что мы не можем приписывать выбранной системе отсчета вращения абсолютную частоту в один оборот: тогда уменьшение скорости вращения относительно ее означает невозможность радиуса совпасть с базовой прямой. Иными словами, уменьшение частоты оборотов мы должны отсчитывать от бесконечности! Получается, что мы говорим здесь о вычитании единиц из ∞. Тогда -1 предстает перед нами не просто как "нечто влево от нуля", а как единица, которую отняли от бесконечного множества...
Впрочем, философствовать здесь можно долго, а простейший вывод из этой теоретической ситуации таков: следует признать, что числа и их алгебраические соотношения - это не просто символический язык для описания пространственных отношений, возникающий из-за введения условных мер и мысленных операций над ними, а столь же фундаментальная объективная сущность, как и само пространство - протяженный континуум. Числа существуют не потому, что мы их придумали для упорядочивания данных опыта, а потому, что мы их ОТКРЫЛИ - также, как открыли в свое время на геометрической плоскости простейшие соотношения между точками и прямыми.
В заключение своей статьи я опишу математический объект, в котором воплощается то, вокруг чего накручивается эта проблематика.
Если мы на числовой прямой будем отмечать точки, соответствующие ряду Фибоначчи, где каждое последующее является суммой двух предыдущих (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...), то в пределе - при устремлении в область все больших и больших чисел - отношение "двух последних" чисел Фибоначчи, как известно, дает j. Это знаменитое иррациональное число 1,61803..., задающее "золотую пропорцию" - сечение, при котором меньший отрезок относится к большему, как больший к их сумме. Можно заявить, что двигаясь так «шагами чисел Фибоначчи» по числовой прямой мы и получаем в трансфинитной области актуально бесконечно большие "отрезки", отношение между которыми выражается иррациональным числом j.
И наоборот, можно в сторону убывания длин построить "в наших масштабах" ряд отрезков, соответствующих "золотому сечению":
Рис. 6.
Поскольку отношение большего отрезка к соседнему меньшему = 1,6... (то есть больше единицы), их общая длина в сторону убывания будет иметь на прямой вполне определенную предельную точку окончания. В ее окрестности и будут "скучиваться" уменьшающиеся отрезки, которые - в полном соответствии с бесконечной делимостью непрерывного континуума - никогда не перестанут делиться. В этом построении предельная точка никогда и не будет достигнута, однако можно утверждать, что в этой актуально бесконечно малой окрестности возле предельной точки происходит удивительная вещь: вместо непрерывного континуума образуются ЧИСЛА, которые будут идти к предельной точке как уменьшающиеся числа Фибоначчи. А поскольку ряд Фибоначчи начинается 1, 1, 2, 3..., то эти числа (и соответствующие им актуально бесконечно малые гипердействительные длины) благополучно придут в точку предела.
Очевидно, здесь предельный переход понимается несколько иначе, нежели в классическом анализе. Но главное – мы остаемся все-таки в рамках теоретических представлений, мы не измышляем абстракции, а просто расширяем границы того, что считается в математике допустимым.
Заключение
Квартернионное время-пространство не является произвольным формально-математическим построением, которое автор придумал, чтобы поговорить на отвлеченные темы. Изменение сигнатуры метрики пространства-времени (---+ вместо +++-) использует, например, упомянутый выше Дж.В.Нарликар, чтобы доказать в конформно-инвариантной теории гравитации положительный знак константы связи χ=8pG/C4 (G – гравитационная постоянная), а с точки зрения многомерного комплексного анализа речь идет всего лишь о 4-х мерных псевдоевклидовых континуумах индексов 1 и 3.
Самым существенным моментом моей работы является попытка объединения числового и пространственного аспектов 4-мерного многообразия в едином Универсуме. В статье нет математических выкладок, - сейчас важно изменение точки зрения, глядя из которой мы можем собрать потом в новую систему известные уже формальные символы. Прежде чем писать уравнения, надо представить - что мы хотим ими выразить. Трудно вообразить квартернионное время-пространство - некое вместилище, "наполненное" не геометрическими точками, а вращательными моментами. Причудливо выглядят фрактально-броуновские метания точки, которая должна двигаться по непрерывной траектории, "натыкаясь" в каждое мгновение времени на вращательный момент. Константа S, определяющая минимальный предел dt/dx, должна, при формальном объединении парных 4-мерных многообразий, каким-то образом через предельный 0-∞ переход превращаться в C. А ведь C - это скорость электромагнитных волн, значит речь идет о каком-то конкретном физическом процессе. Короче говоря, автор сейчас может только в общих чертах представлять, к каким результатам приведет развитие предлагаемого подхода...
Вводя квант действия h, Макс Планк трагически переживал, что приходится модифицировать формулы со ссылками на эксперимент. Может быть его переживания были небеспочвенны, и квантование можно вывести теоретически - исходя из логических оснований? Я полагаю, что дело обстоит именно так. Мысль Альберта Эйнштейна о том, что устройство реального мира можно понять чисто математическим путем не кажется мне чрезмерно смелой.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта https://www.sciteclibrary.ru