Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.




Контрольная работа №2

Введение в математический анализ.

Производная и ее приложения.

Вариант 6

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)

б)

 

в)

г)

 

6.3.16. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;0], (0, ],(;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Исследуем поведение функции. В точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках при х=0 и х= . Найдём односторонние пределы.

При х=0 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. Т.к. односторонние пределы при х= различны, то функция терпит в точке разрыв. А т.к. односторонние пределы конечны, то при х= – точка разрыва первого рода. Функция имеет скачок в этой точке равный -2-0= -2.

График этой функции:

 

 

7.1.6. Найдите производные данных функций.

А)

б)

в)

 

При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости будет иметь наименьшую полную поверхность?

Решение.

Пусть R –радиус основания цилиндра, H- высота.

7.3.26. Методами дифференциального исчисления:

а) исследовать функцию и по результатам исследования построить ее график;

б) найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [0,1].

1. Очевидно D (y) = (-¥;+¥).

2. . Функция не является ни чётной, ни нечетной.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью Оу: x = 0, то у=-е;

с осью Ох: y = 0, то х=1.

4. Определим критические точки. Для этого найдем производную y'.

Тогда y' = 0 имеет решение х =2/3 –абсцисса точки экстремума. Данная точка не входит в область. Определим знак первой производной на интервалах.

 

y'(x)

 

– +

 

2/3

 

Значит, на промежутке (2/3,+¥) функция возрастает, на промежутке (-¥,2/3)– убывает. Значит, при х=2/3 –минимум, у(2/3)=6,7.

5. Определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную y'' функции:

тогда y'' = 0 имеет решение при х=1/3. Это абсцисса точки перегиба.

Определим знак второй производной на области определения.

 

y''(x)

 

– +

1/3

 

Таким образом, при x Î(1/3, +¥) график функции вогнутый, x Î(-¥,1/3) график функции выпуклый.

6. Функция определена и непрерывна на всей области определения. Выясним, имеет ли график функции наклонную асимптоту у=кх+в.

Наклонных асимптот нет.

По результатам исследования строим график функции:

 

 

б) Функция непрерывна на отрезке [0;1]. Найдём производную

В данном случае критической являются точка при х=2/3, причём точка принадлежит отрезку [0;1]. Вычислим значение на концах отрезка и в критической точке:

Таким образом, наименьшее значение данной функции равно -6,7 и получаем его при х=2/3 в критической точке, наибольшее равное 0 получаем при х=1 на правой границе.

 

 

Контрольная работа №3

Неопределенный и определенный интегралы. Функции нескольких переменных. Кратные интегралы.

Вариант 10

8.1.10. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

а)

Проверка:

б)

Проверка:

в)

;

Проверим результат дифференцированием:

г)

Проверка:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

Найдем точки пересечения из решения системы уравнений:

9.1.16 Найти производные функции двух переменных , если .

и

 

,

, , ,

Тогда

 

 

9.1.56 Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле для двойного интеграла , и изменить порядок интегрирования. .

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: