Контрольная работа №2
Введение в математический анализ.
Производная и ее приложения.
Вариант 6
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
а)
б)
в)
г)
6.3.16. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.
Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;0], (0, 
],(;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Исследуем поведение функции. В точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках при х=0 и х= . Найдём односторонние пределы.
При х=0 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. Т.к. односторонние пределы при х= различны, то функция терпит в точке разрыв. А т.к. односторонние пределы конечны, то при х= – точка разрыва первого рода. Функция имеет скачок в этой точке равный -2-0= -2.
График этой функции:
7.1.6. Найдите производные 
данных функций.
А) 
б) 
в) 
При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости будет иметь наименьшую полную поверхность?
Решение.
Пусть R –радиус основания цилиндра, H- высота.
7.3.26. Методами дифференциального исчисления:
а) исследовать функцию и по результатам исследования построить ее график;
б) найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [0,1].
1. Очевидно D (y) = (-¥;+¥).
2. 
. Функция не является ни чётной, ни нечетной.
3. Найдем точки пересечения с осями координат:
с осью Оу: x = 0, то у=-е;
с осью Ох: y = 0, то х=1.
4. Определим критические точки. Для этого найдем производную y'.
Тогда y' = 0 имеет решение х =2/3 –абсцисса точки экстремума. Данная точка не входит в область. Определим знак первой производной на интервалах.
y'(x)
– +
2/3
Значит, на промежутке (2/3,+¥) функция возрастает, на промежутке (-¥,2/3)– убывает. Значит, при х=2/3 –минимум, у(2/3)=6,7.
5. Определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную y'' функции:
тогда y'' = 0 имеет решение при х=1/3. Это абсцисса точки перегиба.
Определим знак второй производной на области определения.
y''(x)
– +
1/3
Таким образом, при x Î(1/3, +¥) график функции вогнутый, x Î(-¥,1/3) график функции выпуклый.
6. Функция определена и непрерывна на всей области определения. Выясним, имеет ли график функции наклонную асимптоту у=кх+в.
Наклонных асимптот нет.
По результатам исследования строим график функции:
б) Функция непрерывна на отрезке [0;1]. Найдём производную
В данном случае критической являются точка при х=2/3, причём точка принадлежит отрезку [0;1]. Вычислим значение на концах отрезка и в критической точке:
Таким образом, наименьшее значение данной функции равно -6,7 и получаем его при х=2/3 в критической точке, наибольшее равное 0 получаем при х=1 на правой границе.
Контрольная работа №3
Неопределенный и определенный интегралы. Функции нескольких переменных. Кратные интегралы.
Вариант 10
8.1.10. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
а)
Проверка:
б) 
Проверка:
в)
;
Проверим результат дифференцированием:
г)
Проверка:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.
Найдем точки пересечения из решения системы уравнений:
9.1.16 Найти производные функции двух переменных 
, если 
.
и 
,
, 
, 
, 
Тогда
9.1.56 Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле для двойного интеграла 
, и изменить порядок интегрирования. 
.
