Тема:Устойчивость сжатого стержня
Основные понятия. Устойчивое и неустойчивое равновесие
В конструкциях и сооружениях большое применение находят детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями, у которых один или два размера поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей нагрузки оказывается принципиально иным, чем при сжатии коротких стержней. Опыт показывает, что при достижении сжимающей силой F некоторой критической величины, равной Fкр, прямолинейная форма равновесия длинного стержня оказывается неустойчивой, и при превышении Fкр стержень начинает интенсивно искривляться (выпучиваться). При этом новым (моментным) равновесным состоянием упругого длинного стержня (при F>Fкр) становится некоторая новая уже криволинейная форма. Это явление носит название потери устойчивости.
Устойчивость – способность тела сохранять положение или форму равновесия при внешних воздействиях.
Обычно потеря устойчивости системы сопровождается большими перемещениями, возникновением пластических деформаций или разрушением. Возможны также случаи, когда система, потеряв устойчивость, переходит в режим незатухающих колебаний. Особая опасность потери устойчивости заключается в том, что она происходит внезапно и при низких значениях напряжений, когда прочность материала еще далеко не исчерпана.
При анализе устойчивости конструкций следует различать устойчивое и неустойчивое равновесие системы.
При устойчивом равновесии тело, выведенное какой-либо силой из своего первоначального положения, возвращается в это положение после прекращения действия силы.
При неустойчивом равновесии тело, выведенное какой-либо силой из своего первоначального положения, продолжает деформироваться в направлении данного ему отклонения, и, после удаления внешнего воздействия, в исходное состояние не возвращается. В этом случае говорят, что произошла потеря устойчивости.
Между этими двумя состояниями существует переходное состояние, называемое критическим, при котором деформированное тело находится в безразличном равновесии: оно может сохранить первоначальную форму, но может и потерять ее от самого незначительного возмущения.
Критическая сила (Fкр) – нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы (положения) тела.
С момента наступления критического состояния до момента разрушения деформации системы нарастают крайне быстро, и практически нет времени принять меры по предотвращению грозящей катастрофы. Таким образом, при расчете на устойчивость критическая нагрузка подобна разрушающей при расчете на прочность.
При этом условие устойчивости можно записать в следующем виде:
Устойчивость сжатого стержня. Задача Эйлера
При определении критической силы, вызывающей потерю устойчивости сжатого стержня, предполагается, что стержень идеально прямой и сила F приложена строго центрально.
Рассматриваемый метод решения основан на том, что при достижении силой F критического состояния (F=Fкр) стержень находится в безразличном состоянии и ему присущи две формы равновесия: прямолинейная и криволинейная (в таких случаях говорят, что происходит ветвление, или бифуркация, равновесных состояний). Для выявления криволинейной формы равновесия достаточно приложить к стержню малую поперечную возмущающую нагрузку Q, которая вызовет малый прогиб. Если F<Fкр, то
при удалении Q стержень будет сохранять прямолинейную форму равновесия. Если F>Fкр, то равновесие стержня становится неустойчивым и сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы. Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.
Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень, сжатый продольной силой F. Положим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M:
где y – прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x.
Для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии:
где E – модуль Юнга; J – осевой момент инерции сечения стержня относительно оси z в данном случае; E·J – жесткость стержня при изгибе. Знаки левой и правой части (19.2) согласованны в данной системе координат.
Подставив в это уравнение выражение для изгибающего момента (19.1), получим
Общий интеграл полученного однородного дифференциального уравнения представляется функцией
Это решение содержит три неизвестные: постоянные интегрирования С1 и С2 и параметр k. Найдем эти величины из граничных условий – условий закрепления стержня по концам:
а) при x=0 прогиб в опоре (точка A) должен быть равен нулю y=0, тогда из уравнения (19.5) получим, что С2=0, при этом формула приобретает вид
Уравнение (19.6) указывает на то, что при продольном изгибе изогнутая ось стержня может быть представлена как некоторое число волн синусоиды с амплитудой C1.
б) при x=l прогиб в другой опоре (точка B) должен быть также равен нулю y=0, тогда из уравнения (19.6) получим, что 
Согласно постановке задачи, коэффициент C1 заведомо не равен нулю (иначе равен нулю прогиб балки во всех точках, что противоречит постановке задачи). В этом случае получаем
Из свойств синусоиды следует, что
где n – произвольное целое число (n≠0), которое представляет собой число полуволн синусоиды, укладывающихся на длине изогнутой оси стержня.
Решая совместно уравнения (19.4) и (19.7), получим выражение для некоторых фиксированных значений сжимающей силы, при которых возможна криволинейная форма равновесия оси стержня
Как видим, минимальное значение критическая сила примет при n=1 (на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды) и J=Jmin (стержень искривляется относительно оси с наименьшим моментом инерции)
Это выражение обычно называют формулой Эйлера, а определяемую с ее помощью критическую силу – эйлеровой силой.
Домашнее задание:
1. Выполнить конспект