Что такое логарифм?
Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема.
Чтобы понять, как их решать, нужно всего лишь разобраться, что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.
Начнем с простого.
Как решить уравнение 2x=8?
Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число 2 чтобы получить 8?
Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА!
Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь (23=8) и То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь 2,321928… и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…
Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?
В нашем случае решение уравнения можно записать как 2,321928… или как log25.
Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное. Словами это произносится как:
Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти.
Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.
Выражение 23=8 можно также записать в виде log28=3. Читается так:
«Логарифм восьми по основанию два равен трем»
или
«Логарифм по основанию два от восьми равен трем»
Следующий вопрос. Как решить уравнение 2x=5?
Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить число 5?
Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много.
Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное.
Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм:
x=log25.
То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь 2,321928… и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…
Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?
В нашем случае решение уравнения можно записать как 2,321928… или как log25.
Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное. Словами это произносится как:
Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти.
Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.
Выражение 23=8 можно также записать в виде log28=3. Читается так:
«Логарифм восьми по основанию два равен трем»
или
«Логарифм по основанию два от восьми равен трем»
Теперь более общая запись:
Читается так:
«Логарифм по основанию a от b равен c»,
и означает:
«Чтобы получить число b, нужно число a возвести в степень c»:
8 примеров вычисления логарифмов
Пример 1
Чему равен log24?
log24=2, так как число 2 нужно возвести во вторую степень, чтобы получить 4.
Пример 2
Чему равен log218?
Заметим, что 8=23, тогда 18=123=2−3, то есть 2 нужно возвести в степень −3, чтобы получить 18.
Значит log218=−3
Пример 3
А чему равен log20,25?
Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить 0,25 как 2 в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: 0,25=14=122=2−2.
Значит, log20,25=−2.
Пример 4
Чему равен log71?
В какую степень надо возвести 7, чтобы получить 1? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно 1 (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»).
Значит, log71=0. Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен 0.
Пример 5
log42. В этом случае аргумент 2 равен корню основания: 2=4–√.
Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): 2=4–√=412 ⇒ log42=12.
Попробуй найти следующие 4 логарифма самостоятельно
log55;
log93;
log1416;
log61.
Ответы
log55=1;
log93=12;
log1416=−2;
log61=0
Десятичныелогарифмы
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно: lg вместо log10
Например:
lg100=2;
lg1000=3;
lg1015=15;
lg0,1=−1;
lg0,01=−2.
Когда нужная степень не подбирается
Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.
Например, log25=2,321928....
Видим, что это число расположено между 2 и 3, и это понятно: ведь это значит, чтобы получить 5, нужно 2 возводить в степень больше 2, но меньше 3.
На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления.
Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме.
В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм.
Например, ответ вполне может выглядеть так:
log310, или даже так: 2+log375.
Получается, что теперь мы можем мгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:
3x=8? Легко: x=log38.
17x=0,387? x=log170,387
0,56x=23,7? x=log0,5623,7.
И так далее.
Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить x=log381, высший балл за задачу не поставят.
То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать.
Потренируйся на следующих простых примерах:
6 примеров для самостоятельной работы
3x=81
4x=20
5x=0,2
2x=80
(23)x=278
4,5x=18
Ответы
81=92=(32)2=34 ⇒ x=4;
20=4⋅5, но 5 никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто: x=log420;
0,2=15=5−1 ⇒ x=−1;
80=16⋅5=24⋅5. Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому x=log280;
278=3323=(32)3=1(23)3=(23)−3 ⇒ x=−3;
4,5=92, а 18=9⋅2. Очевидно, и здесь степень придумать не удастся: x=log4,518.
Кстати, ответы типа x=log280 или x=log420 можно упростить – сделать числа поменьше. Как это сделать, и зачем – об этом чуть позже, в разделе о свойствах логарифмов.
НЕ ПРОПУСТИ!
Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.
На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор "капканов" - все там.
Регистрируйся здесь и приходи!
ОДЗ логарифма
Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).
Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:
То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться 1.
Почему так?
Начнем с простого: допустим, что a=1. Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили 1, всегда получается 1.
Более того, log1b не существует ни для какого b≠1.
Но при этом log11 может равняться чему угодно (по той же причине – 1 в любой степени равно 1).
Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.
Похожая проблема у нас и в случае a=0: 0 в любой положительной степени – это 0, а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что a−c=1ac).
При a<0 мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: amn=am−−−√n.
Например, log42=12 (то есть 412=4–√=2), а вот log−42 не существует.
Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.
Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.
Значит, аргумент должен быть положительным.
Например, log2(−4) не существует, так как 2 ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому log20 тоже не существует).
В задачах с логарифмамипервым делом нужно записать ОДЗ.
Приведу пример:
Решим уравнение logx(x+2)=2.
Вспомним определение: логарифм logx(x+2) – это степень, в которую надо возвести основание x, чтобы получить аргумент (x+2).
И по условию, эта степень равна 2: x2=x+2.
Получаем обычное квадратное уравнение: x2−x−2=0.
Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна 1, а произведение −2. Легко подобрать, это числа 2 и −1.
Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.
Почему?
Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?
x=2: log2(2+2)=log24=2 – верно.
x=−1: log−1(−1+2)=2 – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень x=−1 – «сторонний».
Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:
⎧⎩⎨⎪⎪x>0x≠1x+2>0 ⇔ {x>0x≠1.
Тогда, получив корни x=2 и x=−1, сразу отбросим корень −1, и напишем правильный ответ.
Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)
Найдите корень уравнения logx+1(2x+5)=2. Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.
Решение:
logx+1(2x+5)=2.
В первую очередь напишем ОДЗ:
⎧⎩⎨⎪⎪x+1>0x+1≠12x+5>0 ⇔ ⎧⎩⎨⎪⎪x>−1x≠0x>−52 ⇔ {x>−1x≠0.
Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание x+1, чтобы получить аргумент 2x+5? Во вторую. То есть:
(x+1)2=2x+5 ⇔ x2+2x+1=2x+5 ⇔ x2−4=0 ⇔ [x=2x=−2.
Казалось бы, меньший корень равен −2. Но это не так: согласно ОДЗ корень x=−2 – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: x=2.
Ответ: x=2.
НРАВИТСЯ УЧЕБНИК?
Его автор, Алексей Шевчук, ведет наши курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.
Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.
От 2000 до 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.