Метод Монте-Карло, или метод стохастического моделирования (Monte Carlo simulation), основан на моделировании случайных процессов с заданными характеристиками. В отличие от метода исторического моделирования, в методе Монте-Карло изменения цен активов генерируются псевдослучайным образом в соответствии с заданными параметрами распределения, например математическим ожиданием μ и волатильностью σ. Имитируемое распределение может быть, в принципе, любым, а количество сценариев — весьма большим (до нескольких десятков тысяч). Выделяют:
метод Монте-Карло для одного фактора риска;
метод Монте-Карло для портфеля активов.
Рассмотрим Метод Монте-Карло для одного фактора риска. Моделирование траектории цен производится по различным моделям. Например, распространенная модель геометрического броуновского движения дает в итоге следующие выражения для моделирования цен S на каждом шаге процесса, состоящего из очень большого количества шагов, охватывающих период Т:
dSt = St (μdt + σdzt), (1)
, где dzt — винеровский случайный процесс.
Воспользовавшись определением винеровского процесса, уравнение (1) можно записать в дискретной форме:
σσ∆St= St-1 (μ∆t + σε√∆t), (2)
т. е.
St+1 = St + St (μ∆t + σε1√∆t), (3)
St+1 = St+1 + St+1 (μ∆t + σε2√∆t), (4)
ST = St+n.
Если траектория цен состоит из n равных шагов (например, n дней), то один шаг ∆t = 1/n, а случайная величина ε подчиняется стандартному нормальному распределению (μ = 0, σ = 1). Можно использовать и иные модели эволюции цен, например экспоненциальную.
Траектория цен — это последовательность псевдослучайным образом смоделированных цен, начиная от текущей цены и заканчивая ценой на некотором конечном шаге, например на тысячном или десятитысячном. Чем больше число шагов, тем выше точность метода.
|
|
Каждая траектория представляет собой сценарий, по которому определяется цена на последнем шаге исходя из текущей цены. Затем производится полная переоценка портфеля по цене последнего шага и расчет изменения его стоимости для каждого сценария. Оценка VaR производится по распределению изменений стоимости портфеля.
Генерация случайных чисел в методе Монте-Карло состоит из двух шагов. Сначала можно воспользоваться генератором случайных чисел, равномерно распределенных на интервале между 0 и 1 (рассмотрено выше). Затем, используя как аргументы полученные случайные числа, вычисляют значения функций моделируемых распределений.
Однако следует помнить, что генераторы случайных чисел работают на детерминированных алгоритмах и воспроизводят так называемые «псевдослучайные числа», поскольку с некоторого момента последовательности этих псевдослучайных чисел начинают повторяться, т. е. они не являются независимыми. В простейших генераторах это происходит уже через несколько тысяч генераций, а в более сложных— через миллиарды генераций. Если массив случайных чисел начинает повторяться слишком быстро, то метод Монте-Карло перестает моделировать случайные, независимые сценарии и оценка VaR начинает отражать ограниченность генератора, а не свойства портфеля. Оптимальное количество шагов в процессе зависит от объема выборки, состава портфеля и сложности составляющих его инструментов и др.
|
|
Рассмотрим пример: элементы расчета VaR методом Монте-Карло на современном российском рынке. Для расчета VaR можно использовать различные модификации метода Монте-Карло; в данном случае метод описывается следующим образом:
По ретроспективным данным рассчитываются оценки математического ожидания х и волатильности σ.
С помощью датчика случайных чисел генерируются нормально распределенные случайные числа ε с математическим ожиданием, равным х, и стандартным отклонением σ.
Полученными на предыдущем шаге случайными числами ε заполняется таблица размерностью 500 столбцов на 1000 строк (вообще говоря, размерность таблицы произвольная и зависит, например, от имеющихся вычислительных мощностей, но, чтобы метод обеспечивал приемлемую точность, она должна быть достаточно большой).
Вычисляется траектория моделируемых цен вплоть до S1000 по формуле St= St-1e εt-1, где е — основание натурального логарифма, St— текущая цена (курс) актива.
Производится переоценка стоимости портфеля (состоящего в данном примере из одного актива) по формуле: ∆V= Q (S1000 – S0), где Q — количество единиц актива.
Шаги 4 и 5 выполняются 500 раз для заполнения таблицы 500 х 1000. Полученные 500 значений ∆V сортируются по убыванию (от самого большого прироста до самого большого убытка). Эти ранжированные изменения можно пронумеровать от 1 до 500. В соответствии с желаемым уровнем доверия (1 - α) риск-менеджер может определить VaR как такой максимальный убыток, который не превышается в 500(1 - α) случаях, т. е. VaR равен абсолютной величине изменения с номером, равным 500(1 - α).
|
|
Шаги 1-6 повторяются для каждого расчета каждого дневного VaR.
В качестве объекта исследования был выбран индекс РТС. Генерация случайных чисел производилась при помощи встроенного генератора МS Ехсеl.
Метод Монте-Карло является наиболее технически сложным из всех описанных методов расчета VaR. Кроме того, для выполнения расчетов в полном объеме необходимы значительные вычислительные мощности и временные ресурсы. Современные компьютеры пока еще не позволяют обрабатывать информацию в режиме реального времени, как этого требуют трейдеры, если риск-менеджеры хотят устанавливать VaR-лимиты на величину открытых позиций с помощью метода Монте-Карло.
Существует вариант метода Монте-Карло, согласно которому можно не задавать какое-либо конкретное распределение для моделирования цен, а использовать непосредственно исторические данные. Подобно методу исторического моделирования, на основе ретроспективы моделируются гипотетические цены, но их последовательность не является единственной и не ограничена глубиной периода ретроспективы, поскольку выборка производится с возвращением (bootstrap), т. е. возмущение из исторических данных выбирается случайным образом, и каждый раз в выборе участвуют все данные. Такое построение выборки исторических данных позволяет учесть эффект «толстых хвостов» и скачки цен, не строя предположений о виде распределения. Это несомненные достоинства метода, который, в отличие от метода исторического моделирования, позволяет рассмотреть не какую-либо одну траекторию цен (сценарий), а сколь угодно много, что, как правило, повышает точность оценок. Недостатками данной методики являются низкая точность при малых объемах выборки и использование предположения о независимости доходностей во времени.
Теперь рассмотрим метод Монте-Карло для портфеля активов. Чтобы проводить моделирование по Монте-Карло для многофакторного процесса, можно точно так же моделировать каждый из к рассматриваемых факторов исходя из сгенерированных случайных чисел:
dSt,j = μt,j St,j dt + σt,j St,j Sdzt,j, j = 1,2, …, k, (5)
или для дискретного времени:
∆St,j = St-1,j(μj∆t + σjεj√∆t), j = 1,2, …, k. (6)
С целью учета корреляции между факторами необходимо, чтобы случайные величины εi и εj точно так же коррелировали между собой. Для этого используется разложение Холецкого, суть которого состоит в разложении корреляционной матрицы на две (множители Холецкого) и использовании их для вычисления коррелированных случайных чисел.
Корреляционная матрица является симметричной и может быть представлена произведением треугольной матрицы низшего порядка с нулями в верхнем правом углу на такую же транспонированную матрицу. Например, для случая двух факторов имеем:
Отсюда
Коррелированные случайные числа ε1 и ε2 получаются путем перемножения множителя Холецкого и вектора независимых случайных чисел η:
При расчетах необходимо правильно выбрать количество множителей,
чтобы получилась положительно определенная матрица.
Достоинства метода Монте-Карло:
высокая точность расчетов;
высокая точность применительно к инструментам с нелинейными ценовыми характеристиками;
возможность моделирования любых исторических и гипотетических распределений, учет эффекта «толстых хвостов» и скачков цен (вегариска).
Недостатки метода Монте-Карло:
высокая сложность моделей и соответственно высокий риск неадекватности моделей;
высокие требования к вычислительной мощности и значительные затраты времени на проведение расчетов.
Вывод
В данной работе был рассмотрен метод Монте – Карло. Этот метод имитации применим для решения почти всех задач при условии, что альтернативы могут быть выражены количественно. Построение модели начинается с определения функциональных зависимостей в реальной системе, которые в последствии позволяют получить количественное решение, используя теорию вероятности и таблицы случайных чисел.
Модель Монте-Карло не столь формализована и является более гибкой, чем другие имитирующие модели. Причины здесь следующие:
при моделировании по методу Монте-Карло нет необходимости определять, что именно оптимизируется;
нет необходимости упрощать реальность для облегчения решения, поскольку применение ЭВМ позволяет реализовать модели сложных систем;
в программе для ЭВМ можно предусмотреть опережения во времени.
Данный метод является общепризнанным и наилучшим, так как обладает рядом непреодолимых достоинств, в частности использует гипотезу о нормальном распределении доходностей, показывает высокую точность для нелинейных инструментов и устойчив к выбор ретроспективы. К недостаткам можно отнести техническую сложность расчётов и модельный риск.
Список литературы
1. Ильин И. П. «Планирование на предприятии». М: 2002.
2. «Энциклопедия финансового риск-менеджмента» под. ред. Лобанова А. А. М: 2005.