Оценка математического ожидания импульсного сигнала при отсутствии ошибок синхронизации




 

При синтезе алгоритма оценки воспользуемся методом максимального правдоподобия (МП) [1-5]. Согласно этому методу необходимо формировать логарифм функционала отношения правдоподобия (ЛФОП) как функцию неизвестной амплитуды. На основании результатов работ [1-3] выражение для ЛФОП можно представить в виде

 

(1.4)


 

где - отклик фильтра с импульсной характеристикой на реализацию наблюдаемых данных (1.1), причем передаточная функция этого фильтра удовлетворяет условию , , .

Оценка максимального правдоподобия (ОМП) неизвестной амплитуды определяется как положение наибольшего максимума ЛФОП по переменной а:

 

. (1.5)

 

Положение наибольшего максимума ЛФОП является решением системы уравнения и неравенства:

 

, . (1.6)

 

Согласно (1.3)

 

. (1.7)

 

Тогда ОМП параметра запишется в виде

 

. (1.8)

Алгоритм (1.8) можно реализовать с помощью измерителя, структурная схема которого показана на рисунке.

 

Рисунок 1 - Максимально-правдоподобный измеритель математического ожидания случайного импульсного сигнала

 

Здесь обозначено: 1 - ключ открывающийся на время , 2 - интегратор, 3 - делитель.

Рассмотрим характеристики оценки (1.8). Поскольку аддитивная помеха является гауссовской, то ОМП (1.8) является гауссовской случайной величиной. Поэтому ее эффективность полностью (в статистическом смысле) характеризуется условными смещением , дисперсией и связанным с ними рассеянием .

Согласно определению условное смещение ОМП (1.8) найдем путем ее непосредственного усреднения по реализациям :

 

. (1.9)

 

Подставляя формулы (1.1), (1.2) в (1.9) и учитывая, что , получаем:


 

. (1.10)

 

Таким образом, ОМП (1.8) при априори известных остальных параметрах импульса является условно (а, следовательно, и безусловно) несмещенной.

Аналогично можно найти условную дисперсию ОМП (1.9):

 

(1.11)

 

Подставляя (1.1), (1.2) в (1.11), получаем:

 

(1.12)

 

Поскольку сигнал и шум статически независимы, то . Кроме того, , , где - корреляционная функция процесса , а - дельта-функция. С учетом трех последних равенств из (1.12) получаем

 

.(1.13)


 

Для вычисления первого интеграла в (1.13) сделаем замену переменных: , . Тогда, полагая, что флуктуации процесса являются «быстрыми», т.е. выполняется условие , имеем:

 

(1.14)

 

Для вычисления второго интеграла в (1.13) используем фильтрующее свойство δ-функции: . Тогда находим:

 

(1.15)

 

Подставляя (1.14), (1.15) в (1.13) для дисперсии оценки окончательно получаем

 

(1.16)

 

Поскольку ОМП (1.8) является несмещенной, то дисперсия оценки совпадает с ее рассеянием:

 

. (1.17)

 

Из формул (1.10), (1.16), (1.17) следует, что точность ОМП (1.8) МО случайного импульсного сигнала (1.2) не зависит от искаженного значения параметра . Дисперсия оценки МО, с одной стороны, возрастает с увеличением спектральной плотности и N0 процесса и шума , а, с другой стороны, уменьшается с увеличением длительности измеряемого импульса. Выражения (1.10), (1.16), (1.17) позволяют сделать обоснованный выбор длительности полезного сигнала в зависимости от требуемой эффективности МП измерителя и уровня аддитивных помех.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-03-31 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: