заданий (32 балла). Время выполнения - 235 минут.

Пробный тест ЕГЭ по математике – 2019 (профильный уровень).

1. [1 балл] На бензоколонке один литр бензина стоит 42 руб. 50 коп. Водитель залил в бак 22 литра бензина и взял бутылку воды за 45 рублей. Сколько рублей сдачи он получит с 1000 рублей?

2. [1 балл] Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

3. [1 балл] На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь фигуры, закрашенной серым цветом.

4. [1 балл] Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

5. [1 балл] Решите уравнение .

6. [1 балл] Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 29. Боковые стороны равны 20. Найдите синус острого угла трапеции.

7. [1 балл] На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 2.

8. [1 балл] В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 17, а сторона основания равна 8. Найдите высоту пирамиды.

9. [1 балл] Найдите значение выражения при .

10. [1 балл] Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m =1650 тонн представляют собой две пустотелые балки длиной l =20 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с²). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 275 кПа. Ответ выразите в метрах.

11. [1 балл] Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Задача сводится к решению неравенства при известном значении внутреннего сопротивления Ом:

Ом.

Ответ: 4.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 315 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 42 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

12. [1 балл] Найдите наибольшее значение функции на промежутке [–5,1].

13. [2 балла] А) Решите уравнение .

Б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

14. [2 балла] В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. А) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5: 1, считая от точки C. Б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

15. [2 балла] Решите неравенство .

16. [3 балла] В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O ₁ и O ₂ соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно. A) Докажите, что прямые AO ₁ и CO ₂ перпендикулярны. Б) Найдите площадь четырёхугольника MO ₁ NO ₂, если AC = 20 и BC = 15.

17. [3 балла] 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1231 тысячи рублей?

18. [4 балла] Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

19. [4 балла] Маша и Наташа делают фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В конце (суммарно) Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша. А) Могло ли это произойти за 7 дней? Б) Могло ли это произойти за 8 дней? В) Какое максимальное количество фотографий могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий?