Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x ∈X справедливо равенство:
F' (x) = f(x). (8.1)
Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -
∫ f(x) dx.
Если F(x) - какая-нибудь первобразная для функции f(x), то
∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
где С - произвольная постоянная.
Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:
1) d ∫ f(x)=f(x)dx,
2) ∫df(x)=f(x)+C,
3) ∫af(x)dx=a ∫f(x)dx (a=const),
4) ∫(f(x)+g(x))dx= ∫f(x)dx+ ∫g(x)dx.
Список табличных интегралов
1. ∫xm dx = xm+1/(m + 1) +C; (m ¹≠ -1).
2. 
= ln x +C.
3. ∫ ax dx = ax/ln a + C (a>0, a¹ ≠1).
4. ∫ex dx = ex + C.
5. ∫sin x dx = cos x + C.
6. ∫cos x dx = - sin x + C.
7. 
= arctg x + C.
8. 
= arcsin x + C.
9. 
= tg x + C.
10. 
= - ctg x + C.
Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.
Если функция f(z) непрерывна на [a, b], функция z =g (x) имеет на [a,b] непрерывную производную и α ≤ g(x) ≤ β, то
∫ f(g(x)) g' (x) dx = ∫f(z) dz, (8.3)
причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).
Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:
∫ f(g(x)) g (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
Например:
1) 
;
2) 
.
Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцированияпроизведения,
d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.
Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:
∫ udv = uv - ∫ vdu. (8.4)
|
|
Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.
Пусть, например, требуется найти x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда
∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.
Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,
∫ xk lnmx dx, ∫xk sin bx dx, ∫ xk cos bx dx, ∫xk e ax dx
и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.
Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x0 < x1 <...<xn = b. Из каждого интервала (xi-1, xi) возьмем произвольную точку xi и составим сумму 
f(xi)Δ xi, где
Δxi = xi - xi-1. Сумма вида f(xi)Δ xi называется интегральной суммой, а ее предел при λ = max Δxi→ 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:
f(xi)Δ xi. (8.5)
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке
[a, b],числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.
Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:
1) 
;
2) 
;
3) - 
;
4) 
, (k = const, k∈R);
5) 
;
6) 
;
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈a,b]).
Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.
Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл
∫f(x) dx = F(x) + C
и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:
F(b) - F(a). (8.6)
Геометрическая интерпретация: определенный интеграл 
представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.
|
|
Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:
. 
(8.7)
Если этот предел существует и конечен, то 
называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует, или расходится.
Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах
(- ∞, b] и (- ∞, + ∞):
.
Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:
,
если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:
= 
.