ТЕМА: «Составление таблиц истинности. Равносильные преобразования» Упрощение формул логики.
Краткий курс лекций
Высказывания и операции над ними
Математическая логика – это раздел математики, посвященный анализу методов рассуждений, при этом в первую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание, т.е. исследуется формализация рассуждений? Это разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.
Основное неопределяемое понятие математической логики - это высказывание. Под высказыванием понимают предложение, которое может принимать только два значения «истина» или «ложь». Обозначаются высказывания малыми латинскими буквами: a, b,,…, х,…. или большими латинскими буквами A, B, C…
В математической логике не рассматривается смысл высказываний, определяется только их логическое значение – «истина» или «ложь». Известному немецкому математику и логику Эрнесту Шредеру пришло в голову предложить в качестве знака для обозначения ложного суждения цифру 0, что, конечно, привело к обозначению истины цифрой 1.
Исчисление высказываний – вступительный раздел математической логики, в котором рассматриваются логические операции над высказываниями.
Предикат – логическая функция от п переменных, которая принимает значения истинности или ложности.
Исчисление предикатов – раздел математической логики, объектом которого является дальнейшее изучение и обобщение исчисления высказываний.
Теория булевых алгебр (булевых функций) положена в основу точных методов анализа и синтеза в теории переключательных схем при проектировании компьютерных систем.
Примеры.
1. «Река Кола впадает в Кольский залив» – высказывание (истинное).
2. «Число32 кратно 3» – высказывание (ложное).
3. «Может быть, сегодня пойдет снег» – не высказывание.
4. «5 х – 9 = 7» – не высказывание (неопределенное высказывание или высказывательная форма).
С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами «и», «или», связками «не», «следует» и др. Операции над высказываниями можно описывать при помощи некоторого математического аппарата.
Основные логические операции над высказываниями.
Отрицанием высказывания х называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание х ложно. Отрицание обозначается 
или Ø х (читается: «не х »).
Логические операции можно задавать при помощи таблиц истинности, показывающих соответствие значений истинности высказываний. Для высказываний x и эта таблица имеет вид:
| х |
|
Конъюнкцией двух высказываний х и y называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания х и y. Конъюнкция обозначается: х Ù y,или х & y (читается: «х и y »). Таблица истинности для х Ù y имеет вид:
| х | y | х Ù y |
Дизъюнкцией двух высказываний х и y называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания х и y ложны. Дизъюнкция обозначается х Ú y (или x+y)(читается: «х или y »). Таблица истинности для х Ú y имеет вид:
| х | y | х Ú y |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Импликацией двух высказываний х и y называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда высказывание х истинно, а y – ложно. Импликация обозначается: х ® y (читается: «х влечет y » или «из х следует y »). Высказывание х называется посылкой импликации, а высказывание y – следствием. Таблица истинности для х ® y имеет вид:
| х | y | х ® y |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Эквиваленцией (эквивалентностью) двух высказываний х и y называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний х и y совпадают. Эквиваленция обозначается: х «y, или х ~ y (читается: «х эквивалентно y » или «х тогда и только тогда, когда y »). Таблица истинности для х «y имеет вид:
| х | y | х «y |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Практическое задание №1
1в.
1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
2в.
1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
3в
1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
4в.
1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
5в
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
6в
1. Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
7в.
1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
8в.
1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
9в
1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
10в.
1.Укажите, в каких случаях высказывание истинно, а в каких ложно:
Вопросы самоконтроля:
1. Что такое высказывание?
2. Что такое формальная логика?
3. Кто предложил использовать двоичный код?
4. Что такое предикат?
5. Как можно связывать простые высказывания?
6. Что такое отрицание высказываний?
7. Что такое конъюнкция двух высказываний?
8. Что такое дизъюнкция?
9. Когда импликация высказываний ложна?
10. В каких случаях эквиваленция истинна?
| 11. № п/п | Наименование | Автор | Издательство и год издания |
| Математическая логика: учебное пособие (Среднее профессиональное образование). | В.И. Игошин. | М: ИНФРА-М, 2017. — 399 с | |
| Дискретная математика: сборник задач с алгоритмами решений. Сборник задач для системы СПО. | Спирина М.С., Спирин П.А. | М.: Издательский центр "Академия", 2017.-288 | |
| Методические указания для выполнения практических работ по УД Дискретная математика | Витязева Н.А. | Иркутск, ИЭК, 2017 |
Рекомендованная литература: