Дисконтирование и наращение

Практическое занятие 1

Основы финансовых вычислений

Схемы начисления процентов

1. Простые проценты. Каждый год начисляется r% от первоначальной суммы вклада. Сумма вклада через n лет (n – целое число):

где S_n - сумма через n лет, S₀ - первоначальная сумма, r - годовая процентная ставка (при расчетах следует подставлять значение, выраженное не в процентах, а в долях единицы, т.е. если ставка 12%, то в качестве r в формулу следует подставить 0,12).

Сумма вклада через t лет (t – неотрицательное действительное число):

2. Сложные проценты. Каждый год начисляется r% от уже имеющейся суммы вклада. Сумма вклада через n лет (n – целое число):

Сумма вклада через t лет (t – неотрицательное действительное число):

где [t] – целая часть числа t, {t} – дробная часть числа t.

3. Сложные проценты с капитализацией m раз за период. Каждый период длительностью 1/m лет начисляется (r/m)% от уже имеющейся суммы вклада. Сумма вклада через n лет:

При одинаковых r сумма, получаемая по схеме простых процентов меньше, чем по схеме сложных процентов. В схемах сложных процентов итоговая сумма тем больше, чем больше m.

Сумма вклада через t лет (t – неотрицательное действительное число):

Вышеприведенная формула на практике почти всегда используется лишь в случае, когда произведение m*t – целое число. Второй множитель в этом случае равен 1.

4. Непрерывная процентная ставка. При говорят о непрерывном начислении процентов. Сумма вклада через n лет (n - целое число):

Сумма вклада через t лет (t - неотрицательное действительное число):

Эффективная процентная ставка – это годовая процентная ставка в схеме сложных процентов (с капитализацией 1 раз за год, т.е. в схеме 2), которая обеспечила бы ту же самую наращенную сумму S_n. Эффективную процентную ставку можно определить из уравнения:

,

откуда получаем:

Дисконтирование и наращение

Денежный поток – это последовательность распределённых во времени значений, рассчитанных как разница между поступлениями денежных средств и платежами за соответствующий период времени.

Положительный денежный поток формируют денежные средства, поступившие в экономический субъект в соответствующий период, например, поступления от продажи товаров, выполнения работ, оказания услуг.

Отрицательный денежный поток формируют денежные средства, затрачиваемые экономическим субъектом в соответствующий период, например, инвестиции, возврат кредита, затраты на сырьё, энергию, материалы и другие.

Теория временной стоимости денег – предположение о том, что деньги, полученные в будущем, являются менее ценными, чем деньги, полученные сейчас. При работе с денежными суммами, получаемыми и затрачиваемыми в разных периодах времени, предварительно приводят их к какому-либо одному периоду.

Время, лет
			...	n
			...
			...
			...
...	...	...	...	...
			...

(Комментарий. В таблице подразумевалось начисление процентов по схеме сложных процентов. Ничто не мешает использовать любую другу схему, например, непрерывные проценты. Тогда коэффициенты наращения будут выглядеть как e^rt, а коэффициенты дисконтирования будут выглядеть как e^-rt).

Методы:

1) Дисконтирование. Приведение денежных потоков к текущему (t=0) моменту времени. Дисконтирование выполняется путем умножения будущих платежей на коэффициент дисконтирования:

i-м коэффициентом дисконтирования называется следующая величина:

2) Наращение. Приведение денежных потоков к моменту в будущем. Наращение выполняется путем умножения платежей на коэффициент наращения:

i-м коэффициентом наращения называется следующая величина:

В качестве ставки дисконтирования r можно использовать процентную ставку безрискового актива (доходность государственных облигаций, процент по банковским депозитам и т.д.). Иной подход заключается в использовании ставки альтернативной или требуемой доходности.