История открытия и доказательства теоремы Морлея

Для прямоугольного треугольника»

Авторы: Сарайкина Ольга, Немков Ян

(10 класс)

Руководители: Ленчевская Людмила Ивановна,

Барышева Элла Николаевна,

Моисеева Надежда Николаевна

Содержание

Цель работы_ 3

Введение 4

История открытия и доказательства теоремы Морлея 6

Доказательство теоремы Франка Морлея для прямоугольного треугольника_ 9

Заключение 12

Литература_ 13

Цель работы:

- доказать собственным авторским способом теорему Франка Морлея о трисектрисах треугольника для любого прямоугольного треугольника.

При работе над этим проектом были поставлены следующие задачи:

- расширение математического кругозора;

- развитие творческих способностей;

- приобретение опыта самостоятельной научной работы;

- углубление знаний по математике и по истории математики.

Введение

Следовать за мыслями великого человека

есть наука самая замечательная

А. С. Пушкин

Данная работа имеет большую практическую значимость, так как ее результаты обсуждались в школе на занятиях математического кружка и на заседании школьного научного общества. Кроме того, результаты работы могут использоваться в качестве дополнительного материала на уроках геометрии при изучении темы «Биссектрисы треугольника».

Представленная проектная работа имеет две части: в первой части рассматривается история открытия и доказательства английским ученым Франком Морлеем теоремы о трисектрисах треугольника; во второй части приводится оригинальное собственное доказательство авторами проекта теоремы Морлея для прямоугольного треугольника. Выполняя доказательство, авторы проявили эрудицию, смекалку и находчивость.

Данный проект имеет непосредственное отношение к одной теореме математики, которую окрестили “последним великим открытием планиметрии”. Сегодня она известна как теорема Морлея. Эта теорема является фундаментом многих исследований в области планиметрии и геометрии треугольника. Существует множество различных доказательств самой теоремы Морлея, но они раскрыли далеко не все тонкости, готовых принести пользу математике, а лишь затронули отдельный вопрос. Мы же в работе занялись исследованием некоторых особенностей, которые таит в себе теорема Морлея.

Актуальность рассматриваемой темы вытекает из того факта, что вопрос о трисектрисах треугольника и их свойствах еще недостаточно изучен, поэтому представляет интерес для изучения, с целью расширения наших знаний о математике и ее дальнейшем развитии.

Полученный результат оригинален и не был замечен нами ранее в литературе.

История открытия и доказательства теоремы Морлея

Франк Морлей (англ. Frank Morley, 9 сентября 1860 — 17 октября 1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию.

Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика.

В 1900 году Морлей закончил Колледж Хэверфорд. Почти всю свою жизнь он провел в США, хотя оставался английским гражданином. Несколько десятков лет Морлей был профессором математики университета имени Джона Гопкинса в Балтиморе – одного их старейших американских университетов.

Наряду с математикой он увлекался и шахматами и однажды сумел выиграть у его одного видного математика – Эммануила Ласкера, тогдашнего чемпиона мира по шахматам.

Пусть ABC – произвольный треугольник. Хорошо известно, что биссектрисы его углов пересекаются в одной точке. А что произойдет, если биссектрисы заменить трисектрисами? Фрэнк Морлей рассмотрел такую ситуацию и доказал, что точки M, N, K при любом исходном треугольнике ABC являются вершинами равностороннего треугольника. Морлей рассказал об этом поразившем его факте своим друзьям, те – в свою очередь – своим, и вскоре "теорема о трисектрисах треугольника", ныне известная как теорема Морлея, распространилась по миру в качестве своеобразного математического фольклора.

Наверное, все не один раз слышали о «неразрешимых» математических задачах. Именно о них ещё в 1792 году Парижская академия наук приняла вечное решение: «Отныне и впредь не рассматривать разрешение задач удвоения куба; трисекции угла; квадратуры круга». Именно поэтому исследования, связанные с упомянутыми вопросами долгое время не рассматривались в научных кругах.

Доказательство своей теоремы Морлей опубликовал в 1914 году – через 15 лет после того, как нашел его. В 1924 году он изложил это доказательство более подробно. Доказательство его теоремы весьма элегантно, но в то же время достаточно сложно. В настоящее время теорема имеет много доказательств, которые являются и тригонометрическими, и через аппарат комплексных чисел, и элементарные геометрические.

Теорема Морлеяо трисектрисах — одна из самых удивительных теорем геометрии треугольника (трисектрисами угла называются два луча, делящие угол на три равные части).

Теорема утверждает:

Французский математик А. Леберг (1875-1941), используя элементарные средства, доказал, что среди точек пересечения всех трисектрис треугольника можно указать 27 троек, являющихся вершинами равносторонних треугольников. В частности, трисектрисы внешних углов треугольника, примыкающие к одной и той же стороне, попарно пересекаются в точках, являющихся вершинами равностороннего треугольника. Стороны равносторонних треугольников параллельны сторонам «основного» равностороннего треугольника Морлея.