Повышающий и понижающий операторы

ДВУХМЕРНЫЕ И ТРЕХМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

Двухмерные и трехмерные системы совершают поступательное и вращательное движения. Например, электрон в атоме, связанный кулоновской силой с положительным зарядом ядра, вращается вокруг общего центра масс. Свободный электрон также может иметь неравный нулю угловой момент, когда его волновая поверхность вращается вокруг вектора скорости, образуя вихрь. В этом случае максимум вероятности обнаружения электрона перемещается по винтовой линии, на ее оси вероятность обнаружения электрона равна нулю благодаря центробежной силе. При отсутствии осевой скорости вероятность распределена по кольцу равномерно, и центр масс неподвижен. Такое вращение классической частицы без центростремительной силы запрещено теоремой о центре масс изолированной системы, согласно которой центр масс изолированной системы, на которую не действуют внешние силы, может двигаться лишь равномерно и прямолинейно, или покоиться.

В классической механике динамика вращательного движения описывается вектором момента импульса

В декартовых координатах вектор имеет проекции и квадрат модуля

. (4.1)

Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке координат

Операторы момента импульса

В квантовой механике вращение описывается операторами момента импульса, их собственными функциями и собственными значениями. Основные соотношения рассматривались в курсе «Методы математической физики», поэтому далее дается лишь обзор основных результатов.

Декартовые координаты. По правилу соответствия между классическими и квантовыми соотношениями величины в (4.1) заменяются операторами, тогда оператор момента импульса

, (4.2)

где с учетом

, , ,

операторы декартовых проекций момента импульса

;

, (4.3)

Оператор квадрата момента импульса

. (4.4)

Операторы эрмитовые

, . (4.5)

Доказательство (4.5) выносится на практическое занятие.

Перестановочные соотношения следуют из (4.3) с учетом

, , ,

И имеют вид

. (4.6)

Из следует, что квадрат модуля и проекция на декартовую ось измеримы одновременно с неограниченной точностью, наборы их собственных функций совпадают. Собственные значения этих операторов – орбитальное число l и магнитное число m описывают вращательное состояние частицы.

Сферические координаты связаны с декартовыми координатами .

; ; ,

Операторы в сферических координатах имеют вид

, (4.7)

. (4.8)

Оператор Лапласа в сферических координатах распадается на радиальную и угловую части

. (4.9)

Угловая часть содержит квадрат момента импульса . Радиальная часть оператора Лапласа

(4.10)

выражается через радиальный импульс

. (4.11)

Выполняется

, . (4.12)

Доказательство соотношений (4.10) – (4.12) выносится на практические занятия.

Повышающий и понижающий операторы

(4.13)

ступенчато изменяют собственные функции и собственные значения оператора и удовлетворяют соотношениям

, (4.14)

, (4.15)

. (4.16)

Оператор поворота поворачивает углового состояния частицы вокруг оси z на угол a

. (4.17)

Получим выражение оператора, разлагая в ряд Тейлора и учитывая (4.7)

= .

Сравниваем с (4.17), находим

. (4.18)

где .

Обобщаем (4.18) на случай поворота вокруг единичного вектора n на угол a, отсчитываемый по правилу правого винта, получаем

, (4.19)

где оператор момента импульса является генератором поворота состояния частицы.

Сферическая функция

Сферическая функция является собственнойфункцией взаимно коммутирующих операторов и

, (4.20)

, (4.21)

где – магнитное квантовое число, определяет проекцию орбитального момента L на ось z

Орбитальное квантовое число определяет модуль орбитального момента L

. (4.22)

Состояния обозначаются в спектроскопии буквами s, p, d, f от англ. sharp – резкий, principal – главный, diffuse – расплывчатый, fundamental – фундаментальный.

Количество проекций L на ось z равно числу возможных значений , в результате число проекций

Направление L определяется углом θ с осью z. Угол квантуется

. (4.23)

Пространственное квантование при l = 3

Вектор L не может быть направлен вдоль оси z, поскольку максимальная проекция вектора не может превышать его модуль

тогда из (4.23) находим

, .

Физическая причина в том, что определенность приводит к неопределенностям некоммутирующих с ним и , которые дают вклад в , поэтому .

Из (4.15)

и (4.21)

получаем

Следовательно, операторы переводят состояние с собственным значением m в состояния с собственными значениями , то есть повышает у состояния число m на единицу, а понижает на единицу.

Выполняется

, (4.24)

полученное в курсе «Методы математической физики».

Выражение для сферической функции . В сферических координатах изменения углов θ и φ происходят независимо, поэтому функция состояния факторизуется