Повышающий и понижающий операторы




ДВУХМЕРНЫЕ И ТРЕХМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

 

Двухмерные и трехмерные системы совершают поступательное и вращательное движения. Например, электрон в атоме, связанный кулоновской силой с положительным зарядом ядра, вращается вокруг общего центра масс. Свободный электрон также может иметь неравный нулю угловой момент, когда его волновая поверхность вращается вокруг вектора скорости, образуя вихрь. В этом случае максимум вероятности обнаружения электрона перемещается по винтовой линии, на ее оси вероятность обнаружения электрона равна нулю благодаря центробежной силе. При отсутствии осевой скорости вероятность распределена по кольцу равномерно, и центр масс неподвижен. Такое вращение классической частицы без центростремительной силы запрещено теоремой о центре масс изолированной системы, согласно которой центр масс изолированной системы, на которую не действуют внешние силы, может двигаться лишь равномерно и прямолинейно, или покоиться.

В классической механике динамика вращательного движения описывается вектором момента импульса

 

.

 

В декартовых координатах вектор имеет проекции и квадрат модуля

,

,

,

 

. (4.1)

 

Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке координат

.

Операторы момента импульса

 

В квантовой механике вращение описывается операторами момента импульса, их собственными функциями и собственными значениями. Основные соотношения рассматривались в курсе «Методы математической физики», поэтому далее дается лишь обзор основных результатов.

Декартовые координаты. По правилу соответствия между классическими и квантовыми соотношениями величины в (4.1) заменяются операторами, тогда оператор момента импульса

 

, (4.2)

где с учетом

, , ,

 

операторы декартовых проекций момента импульса

 

,

 

;

 

, (4.3)

 

Оператор квадрата момента импульса

 

. (4.4)

Операторы эрмитовые

, . (4.5)

Доказательство (4.5) выносится на практическое занятие.

Перестановочные соотношения следуют из (4.3) с учетом

 

, , ,

И имеют вид

,

 

,

 

,

 

. (4.6)

 

Из следует, что квадрат модуля и проекция на декартовую ось измеримы одновременно с неограниченной точностью, наборы их собственных функций совпадают. Собственные значения этих операторов – орбитальное число l и магнитное число m описывают вращательное состояние частицы.

Сферические координаты связаны с декартовыми координатами .

 

 

; ; ,

 

,

,

,

 

Операторы в сферических координатах имеют вид

 

, (4.7)

 

. (4.8)

 

Оператор Лапласа в сферических координатах распадается на радиальную и угловую части

. (4.9)

 

Угловая часть содержит квадрат момента импульса . Радиальная часть оператора Лапласа

(4.10)

 

выражается через радиальный импульс

 

. (4.11)

Выполняется

, . (4.12)

Доказательство соотношений (4.10) – (4.12) выносится на практические занятия.

Повышающий и понижающий операторы

 

(4.13)

 

ступенчато изменяют собственные функции и собственные значения оператора и удовлетворяют соотношениям

 

,

 

, (4.14)

 

, (4.15)

 

. (4.16)

Оператор поворота поворачивает углового состояния частицы вокруг оси z на угол a

 

. (4.17)

 

Получим выражение оператора, разлагая в ряд Тейлора и учитывая (4.7)

 

= .

 

Сравниваем с (4.17), находим

 

. (4.18)

где .

Обобщаем (4.18) на случай поворота вокруг единичного вектора n на угол a, отсчитываемый по правилу правого винта, получаем

 

, (4.19)

 

где оператор момента импульса является генератором поворота состояния частицы.


Сферическая функция

Сферическая функция является собственнойфункцией взаимно коммутирующих операторов и

 

, (4.20)

 

, (4.21)

 

где магнитное квантовое число, определяет проекцию орбитального момента L на ось z

 

.

 

Орбитальное квантовое число определяет модуль орбитального момента L

. (4.22)

 

Состояния обозначаются в спектроскопии буквами s, p, d, f от англ. sharp – резкий, principal – главный, diffuse – расплывчатый, fundamental – фундаментальный.

Количество проекций L на ось z равно числу возможных значений , в результате число проекций

 

.

 

Направление L определяется углом θ с осью z. Угол квантуется

 

. (4.23)

 

Пространственное квантование при l = 3

Вектор L не может быть направлен вдоль оси z, поскольку максимальная проекция вектора не может превышать его модуль

 

,

тогда из (4.23) находим

, .

 

Физическая причина в том, что определенность приводит к неопределенностям некоммутирующих с ним и , которые дают вклад в , поэтому .

Из (4.15)

и (4.21)

получаем

.

 

Следовательно, операторы переводят состояние с собственным значением m в состояния с собственными значениями , то есть повышает у состояния число m на единицу, а понижает на единицу.

Выполняется

, (4.24)

 

полученное в курсе «Методы математической физики».

Выражение для сферической функции . В сферических координатах изменения углов θ и φ происходят независимо, поэтому функция состояния факторизуется

 

.

 

В уравнение на собственную функцию (4.21)

 

 

подставляем оператор (4.7)

получаем уравнение

. (4.25)

 

Накладываем условие периодичности

 

. (4.26)

 

Из (4.25) и (4.26) получаем

 

, (4.27)

 

Условие периодичности (4.26) привело к квантованию числа m. На основании

 

функции , где , удовлетворяют условию ортонормированности

. (4.28)

 

Для оператора квадрата момента импульса (4.8)

 

 

уравнение на собственную функцию (4.20)

 

 

дает дифференциальное уравнение

 

.

 

Решение в виде

с учетом (4.27)

 

приводит к уравнению для

 

. (4.29)

 

Уравнение совпадает с уравнением для присоединенных функций Лежандра , тогда ,

 

.

 

Постоянный множитель определяется из условия нормировки

 

, .

В результате

. (4.30)

Выполняются

, (4.31)

 

, ,

 

, (4.32)

 

и условие ортонормированности

 

. (4.33)

 

Инверсия координат соответствует замене

 

, ,

 

 

тогда

. (4.34)

 

Четность состояния, описываемого сферической функцией, совпадает с четностью орбитального числа l.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-12-21 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: