Физические приложения определенного интеграла

В лекции 19 мы доказали, что с физической точки зрения, интеграл численно равен массе прямолинейного тонкого неоднородного стержня длины l = b – a, с переменной линейной плотностью r = f (x), f (x) ³ 0, где х – расстояние от точки стержня до его левого конца.

Рассмотрим другие физические приложения определенного интеграла.

Задача 1. Найти работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой Н и радиусом основания R. Плотность масла равна r.

Решение. Построим математическую модель данной задачи. Пусть ось ОХ проходит вдоль оси симметрии цилиндра высоты Н и радиуса R, начало – в центре верхнего основания цилиндра (рис.17). Разобьем цилиндр на п малых горизонтальных частей. Тогда , где A_i – работа по выкачиванию i -го слоя. Это разбиение цилиндра соответствует разбиению отрезка [0, H] изменения высоты слоя на п частей. Рассмотрим один из таких слоев, расположенный на расстоянии х_i от поверхности, шириной D х (или сразу dx). Выкачивание этого слоя можно рассматривать как «поднятие» слоя на высоту х_i.

Тогда работа по выкачиванию этого слоя равна

A_i »Р _ix_i, ,

где Р _i =rgV _i = rgpR² dx, Р _i – вес, V _i – объем слоя. Тогда A_i » Р _ix_i = rgpR² dx.х_i , откуда

, и, следовательно, .

Задача 2. Найти момент инерции

а) полого тонкостенного цилиндра относительно оси, проходящей через ось его симметрии;

б) сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через ось его симметрии;

в) тонкого стержня длины l относительно оси, проходящей через его середину;

г) тонкого стержня длины l относительно оси, проходящей через его левый конец.

Решение. Как известно, момент инерции точки относительно оси равен J = mr ², а системы точек .

а) Цилиндр тонкостенный, значит, толщиной стенок можно пренебречь. Пусть радиус основания цилиндра R, высота его Н, плотность масс на стенках равна r.

Разобьем цилиндр на п частей и найдем , где J_i – момент инерции i -го элемента разбиения.

Рассмотрим i -й элемент разбиения (бесконечно малый цилиндрик). Все его точки находятся на расстоянии R от оси l. Пусть масса этого цилиндрика т_i, тогда т_i = rV _i » rS _бок = 2prR dx_i, где х_i Î[0, H]. Тогда J_i » R²prR dx_i, откуда

.

Если r – постоянная, то J = 2prR³Н, а так как при этом масса цилиндра равна М = 2prRН, то J = МR².

б) Если цилиндр сплошной (заполненный), то разобьем его на п вло женных один в другого тонких цилиндров. Если п велико, каждый из этих цилиндров можно считать тонкостенным. Это разбиение соответствует разбиению отрезка [0, R] на п частей точками R _i. Найдем массу i -го тонкостенного цилиндра: т_i = rV _i, где

V _i = pR _i ²Н – pR _{i- 1}²Н = pН(R _i ² –R _{i -1}²) =

= pН(R _i –R _{i -1})(R _i +R _{i -1}).

Ввиду того, что стенки цилиндра тонкие, то можно считать, что R _i +R _{i -1}» 2R _i, а R _i –R _{i -1} = DR _i, тогда V _i » pН2R _i DR _i, откуда т_i » rpН×2R _i DR _i,

а .

Тогда окончательно

в) Рассмотрим стержень длины l, плотность масс которого равна r. Пусть ось вращения проходит через его середину.

Моделируем стержень как отрезок оси ОХ, тогда ось вращения стержня –ось ОУ. Рассмотрим элементарный отрезок , масса его , расстояние до оси можно считать приближенно равным r_i = х_i. Тогда момент инерции этого участка равен , откуда момент инерции всего стержня равен . Учитывая, что масса стержня равна , то

.

г) Пусть теперь ось вращения проходит через левый конец стержня, т.е. моделью стержня является отрезок оси ОХ. Тогда аналогично , r_i = х_i, , откуда , а так как , то .

Задача 3. Найти силу давления жидкости с плотностью r на прямоугольный треугольник с катетами а и b, погруженный вертикально в жидкость так, что катет а находится на поверхности жидкости.

Решение.

Построим модель задачи. Пусть вершина прямого угла треугольника находится в начале координат, катет а совпадает с отрезком [0; a ] оси ОУ (ось ОУ определяет поверхность жидкости), ось ОХ направлена вниз, катет b совпадает с отрезком [0; b ] этой оси. Гипотенуза этого треугольника имеет уравнение , или .

Известно, что если на горизонтальную область площади S, погруженную в жидкость плотности r, давит столб жидкости высотой h, то сила давления равна (закон Паскаля). Воспользуемся этим законом.

На отрезке [0; b ] оси ОХ возьмем элементарный участок . В силу того, что ширина его бесконечно мала, можно считать, что соответствующий этому отрезку элемент площади треугольника (элементарная трапеция) расположен в жидкости горизонтально на глубине х_i, а сама площадь этого элемента равна приближенно площади прямоугольника со сторонами и , т.е. . Тогда по закону Паскаля этот элементарный участок треугольника испытывает давление

.

Тогда приближенно давление F можно представить в виде , а истинное значение F равно , откуда искомое давление равно

.

Задача 4. Скорость точки при прямолинейном движении равна м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 10 секунд движения.

Решение.

Известно, что скорость точки и пройденный путь при прямолинейном движении связаны соотношением или . Тогда . А путь, пройденный за время есть приращение этой функции на этом отрезке, т.е. м.