Непараметрические критерии.

Непараметрические критерии сравнивают сами значения выборок (варианты), они используют ранги.

Ранг -- это место по возрастанию.

Если встречается несколько одинаковых значений, то их ранг = среднему арифметическому рангов. Число рангов=n -- количество значений для которых расставляем ранги.

Пример:

X	Ранг
	2,5	Ранг «2»=
		Ранг «5»=
	2,5
N=10

 

Критерий Вилкоксона.

Работает с так называемыми сопряжёнными вариантами, когда варианты из двух выборок измеряются парами (например, значению x_i до воздействия препарата соответствует y_i после воздействия).

Итак, имеем две выборки одинакового объёма n₁=n₂=n:

X{x₁, x₂, … x_n} – контроль

Y{y₁, y₂, … y_n} – опыт

Нас интересует достоверно ли различие между выборками, то есть принадлежат ли XиY одной генеральной совокупности для заданного уровня значимости ά.

Алгоритм проверки статистической гипотезы:

1). Н₀: различие между выборками не достоверно.

2). Вычислить разности: . Если =0, то i-ю строку вычеркнуть и n=n-k -- количество вычеркнутых строк.

3). Расставить ранги для разностей, знак разности не учитываем. То есть расставляем ранги для .

4). Подсчитать суммы рангов, учитывая знаки разностей:

R⁺ -- сумма рангов для >0

R^- -- сумма рангов для <0

5). , то есть выбираем меньшее из двух чисел.

6).Определить по таблице критерия Вилкоксона для α и числа степеней свободы=n Т_крит.

7). Если Т_эксп ≤Т_крит то Н₀ отвергаем.

если Т_эксп>Т_крит то Н₀ принимаем.

8). Записать вывод.

Пояснения: считается, что если различия между выборками не достоверны, (то есть верна гипотеза Н₀), то R⁺и R^-не сильно отличаются друг от друга. В таблице содержатся критические значения для меньшей суммы рангов и если Т_эксп<Т_крит,

то различия велики и гипотезу Н₀ следует отвергнуть.

 

Пример: Достоверны ли различия между выборками для уровня значимости α=0,05? Н₀: Различия между выборками не достоверны.

№	Контроль Х	Опыт Y	Разности	Ранг разности
1	32	21	11	7
2	31	19	12	8
3	29	27	2	2,5
4	28	29	-1	1
5	30	30	0
6	27	29	-2	2,5
7	29	22	7	6
8	33	27	6	5
9	26	21	5	4

n=9-1=8 R^-=1+2,5=3,5 R⁺=7+8+2,5+6+5+4=32,5

Следовательно Т_эксп=3,5.

По таблице для n=8 и α=0,05 находим: Т_крит=4.

Н₀ отвергаем.

Вывод: Различия между выборками достоверны.

 

Критерий Манна-Уитни.

Этот непараметрический критерий можно использовать для двух выборок как одинаковых, так и разных объёмов. Объём меньшей выборки обозначают n₁.

То есть, если

Обе выборки объединяют в один ряд и ранги расставляют для всех n₁+ n₂ чисел.

 

Алгоритм проверки статистической гипотезы:

1). Н₀: различие между выборками не достоверно.

2). Расставить ранги для всех n₁+ n₂ значений.

3). Вычислить:

где -- сумма рангов для первой выборки,

-- сумма рангов для второй выборки.

4).

5).

а). Если , то в таблице для по и находим число -- это вероятность Р, которая позволяет судить о правомерности гипотезы Н₀.

если принимаем,

если отвергаем. Где α -- заданный уровень значимости.

 

в). Если , то существует другая таблица. В ней для и находим .

Если U_эксп ≤U_крит то Н₀ отвергаем.

если U_эксп˃U_крит то Н₀ принимаем.

6). Записать вывод.

 

Пример 1: даны две выборки. По критерию Манна-Уитни проверить, достоверны ли различия между выборками для уровня значимости α=0,05?

1-я выборка	Ранг	2-я выборка	Ранг
	1		2
	3		5
	4		7
	6		8
			9
n1=4	R1=14	n2=5	R2=31

Н₀: Различия между выборками не достоверны.

n₁+ n₂ =4+5=9

R₁=1+3+4+6=14

R₂=2+5+7+8+9=31

В таблице для n₂=5, находим для n₁=4 и

Н₀ принимаем.

Вывод: Различия между выборками не достоверны.

	N1(N2=5)
U
	0.167	0.047	0.018	0.008	0.004
	0.333	0.095	0.036	0.016	0.008
	0.500	0.190	0.071	0.032	0.016
	0.667	0.286	0.125	0.056	0.028
		0.429	0.196	0.095	0.048
		0.571	0.286	0.143	0.075
			0.393	0.206	0.111
			0.500	0.278	0.155
			0.607	0.365	0.210
				0.452	0.274
				0.548	0.345
					0.421
					0.500

Пример 2: Изучалось действие различных лекарственных препаратов на двух группах животных. Получены следующие результаты:

1-я группа
2-я группа

 

По критерию Манна-Уитни для уровня значимости a=0,05 выяснить, значима ли разница между действием этих препаратов.

 

Н₀: Различия между выборками не достоверны, то есть разница между действием препаратов не значима.

1-ая группа	Ранг	2-ая группа	Ранг
	2,5
	2,5
			10,5
	10,5

По таблице критических значений критерия Манна-Уитни для уровня значимости a=0,05.

Н₀ отвергаем.

Вывод: разница между действием препаратов значима.

Контрольные вопросы.

Критерий Фишера.

 

Критерий Стьюдента.

Критерий Вилкоксона.

Критерий Манна-Уитни..