Мы знаем аналитический и физический смысл производной:
аналитический смысл – это 
, физический – это скорость процесса, заданного функцией. Выясним геометрический смысл производной.
Для этого введём понятие касательной к кривой в данной точке.
Из школьного курса геометрии, вы знаете понятие касательной к окружности. Касательная к окружности определяется как прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и имеющая с ней единственную общую точку.
Но такое определение касательной неприменимо для случая произвольной кривой. Например, для параболы 
оси 
имеют по одной общей точке с параболой. Однако ось 
является касательной к параболе, а ось 
– нет.
M1 Дадим общее определение касательной к
L M2 кривой в данной точке.
М3 Пусть 
– некоторые точки произвольной кривой 
– секущая кривой.
K При приближении точки 
по кривой секущая 
будет поворачиваться вокруг точки 
, занимая положения 
, 
Рис.1
Определение. Предельное положение секущей 
при неограниченном приближении точки 
по кривой называется касательной к кривой в точке 
Определение. Нормалью к кривой в точке 
называется прямая, проходящая через точку 
перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.
 |
Если 
– касательная к кривой 
в точке ,
то 
перпендикулярная будет нормалью к кривой в точке 
Рис.2
Геометрический смысл производной
Пусть кривая является графиком функции 
. Точки 
лежат на графике функции. Прямая - секущая кривой . – касательная к кривой
- угол наклона касательной
0 
Рис.3
Геометрически, производная функции 
в точке 
равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой в точке 
или угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. 
|
|
Уравнение касательной к кривой в точке 
имеет вид
Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
П р и м е р 1. Вычислите угловые коэффициенты касательных к параболе в точках 
.
Решение. Из геометрического смысла производной (формула 1) угловой коэффициент касательной 
.
Найдём производную функции: 
.
1) Найдём значение производной в точке 
. Следовательно, 
.
2) Найдём значение производной в точке 
. Следовательно, 
.
П р и м е р 2. У параболы 
проведены касательные в точках 
Найдите углы наклона касательных к оси Ох.
Решение. По формуле (1) 
Найдём 
. 
.
1) Вычислим значение производной в точке 
: 
.
Следовательно, 
и 
.
2) Аналогично в точке 
.
Следовательно, 
и 
П р и м е р 3. В какой точке касательная к кривой 
наклонена к оси Ох
под углом 
Решение. По формуле (1)
; 
. Следовательно, 
и 
Подставив 
в функцию , получим 
. Получили точку 
.
П р и м е р 4. Составить уравнение касательной и нормали к параболе 
в точке 
Решение. Уравнение касательной к кривой имеет вид 
.
Из условия задачи 
. Найдём производную .
; 
.
Подставив все значения в уравнение 
получим уравнение касательной
или 
.
Составим уравнение нормали, воспользовавшись формулой :
или 
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение касательной к кривой.
2. Что называется нормалью к кривой?
3. В чём заключается геометрический смысл производной? Запишите формулу.
4. Запишите уравнение касательной к кривой в данной точке.
5. Запишите уравнение нормали к кривой в данной точке.
|
|
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к кривой 
в точке 
.
2. Кривая задана уравнением 
Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси 
, проведённых к кривой в точках
с абсциссами 
.
3. В какой точке касательная к кривой 
: а) параллельна оси ; б) образует с осью угол 45 
?
4. В какой точке касательная к графику функции 
параллельна оси абсцисс?
5. Найти угол наклона касательной к кривой 
в точке, абсцисса которой
равна 2.
6. Составить уравнение касательной к кривой 
в точке 
.
7. Найти касательную к кривой 
в точке с абсциссой .