ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА




Как известно, функция , где , называется квадратичной, а многочлен , часто называют квадратным трёхчленом. Рассмотрим построение графика квадратного трёхчлена.

1. Найдём вершину параболы. Её можно найти двумя способами.

1) Из школьного курса известно, что абсцисса вершины параболы находится по формуле . Чтобы найти ординату нужно в функцию вместо х подставить найденное значение абсциссы .

2) Для квадратичной функции вершина параболы является точкой экстремума. Причём если то ветви параболы направлены вверх и вершина параболы является точкой минимума. При этом возможно 3 случая, связанные со знаком дискриминанта.

Рис.10

Если , то ветви параболы направлены вниз и её вершина является точкой максимума. При этом возможно 3 случая.

 


 

Рис.11

Поэтому, чтобы найти абсциссу вершины параболы нужно найти производную и приравнять её к нулю.

Иногда для более точного построения графика необходимо найти точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения графика с осью имеют вид , поэтому для их нахождения нужно взять , подставить в функцию и найти .

Точки пересечения графика с осью имеют вид , поэтому нужно взять , подставить в функцию и найти . Можно найти симметричную точку.

 

 

П р и м е р. Построить график функции

Решение. 1)Найдём вершину параболы, для этого найдём производную и приравняем её к нулю.

. Тогда и

Подставим это значение в функцию и вычислим .

.

Следовательно, вершина находится в точке .

2) Найдём точки пересечения параболы с осями координат.

С осью тогда .

Откуда получаем . Точки

С осью : , тогда . Точка и симметричная ей точка .

По результатам исследования построим график.

 

 

УПРАЖНЕНИЯ

Построить график функции.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


 

 

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ

ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

Выясним, в каких точках отрезка непрерывная функция может принять наибольшее и наименьшее значения.

Пусть функция , , непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех точках этого отрезка и имеет на нём конечное число критических точек.

Очевидно, что если эта функция монотонна на отрезке , то наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах этого отрезка (см. рис.12).

Если функция не является монотонной, то своё наибольшее значение на отрезке она достигает либо в одной из точек максимума, либо на одном из концов этого отрезка. Точно так же наименьшее значение на отрезке функция достигает либо в одной из точек минимума, либо на одном из концов отрезка (см. рис.13).

 
 


       
   
 

 


 

Рис.12 Рис.13

 

Обобщая наши наблюдения, можем составить правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции нужно:

1. Найти критические точки, принадлежащие отрезку и вычислить значения функции в этих точках.

2. Вычислить значения функции на концах отрезка , то есть найти и .



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-03 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: