Как известно, функция , где , называется квадратичной, а многочлен , часто называют квадратным трёхчленом. Рассмотрим построение графика квадратного трёхчлена.
1. Найдём вершину параболы. Её можно найти двумя способами.
1) Из школьного курса известно, что абсцисса вершины параболы находится по формуле . Чтобы найти ординату нужно в функцию вместо х подставить найденное значение абсциссы .
2) Для квадратичной функции вершина параболы является точкой экстремума. Причём если то ветви параболы направлены вверх и вершина параболы является точкой минимума. При этом возможно 3 случая, связанные со знаком дискриминанта.
Рис.10
Если , то ветви параболы направлены вниз и её вершина является точкой максимума. При этом возможно 3 случая.
Рис.11
Поэтому, чтобы найти абсциссу вершины параболы нужно найти производную и приравнять её к нулю.
Иногда для более точного построения графика необходимо найти точки пересечения графика с осями координат.
Точки пересечения графика с осью имеют вид , поэтому для их нахождения нужно взять , подставить в функцию и найти .
Точки пересечения графика с осью имеют вид , поэтому нужно взять , подставить в функцию и найти . Можно найти симметричную точку.
П р и м е р. Построить график функции
Решение. 1)Найдём вершину параболы, для этого найдём производную и приравняем её к нулю.
. Тогда и
Подставим это значение в функцию и вычислим .
.
Следовательно, вершина находится в точке .
2) Найдём точки пересечения параболы с осями координат.
С осью тогда .
Откуда получаем . Точки
С осью : , тогда . Точка и симметричная ей точка .
По результатам исследования построим график.
УПРАЖНЕНИЯ
Построить график функции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ
Выясним, в каких точках отрезка непрерывная функция может принять наибольшее и наименьшее значения.
Пусть функция , , непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех точках этого отрезка и имеет на нём конечное число критических точек.
Очевидно, что если эта функция монотонна на отрезке , то наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах этого отрезка (см. рис.12).
Если функция не является монотонной, то своё наибольшее значение на отрезке она достигает либо в одной из точек максимума, либо на одном из концов этого отрезка. Точно так же наименьшее значение на отрезке функция достигает либо в одной из точек минимума, либо на одном из концов отрезка (см. рис.13).
Рис.12 Рис.13
Обобщая наши наблюдения, можем составить правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции нужно:
1. Найти критические точки, принадлежащие отрезку и вычислить значения функции в этих точках.
2. Вычислить значения функции на концах отрезка , то есть найти и .