Преобразование графиков функций и других геометрических образов




Тема 1. Функция

Октября 2018

Понятие функции и ее аргумента

Пусть X и Y - произвольные множества. Говорят, что на Х задана функция f, если каждому элементу х множества Х поставлен в соответствие единственный элемент у множества Y. Закон соответствия обычно обозначается f: Х ®Y, y=f(x).

х называется аргументом функции у.

Областью определения функции называют числовое множество Х и обозначают D(f), областью значений функции называют множество Y, состоящее из значений, которые принимает функция при подстановке чисел из множества Х, и обозначают E(f).

 

Способы задания функций

· Табличный способ.

Пример. Мы знаем значения функции для 1, 2 и 4.

х y
   
   
  ?
   

Можем предположить, что это функция и для x=3 предположить значение 9. Но это необязательно так. Например, функцией может оказаться многочлен третьей степени:

*Как найти такой многочлен, если мы знаем его степень? – Метод неопределенных коэффициентов . При использовании этого метода становится очевидно, что квадратный трехчлен, проходящий через заданные три точки определяется однозначно, а вот уже для многочлена третьей степени существует бесконечное множество вариантов

· Графический способ.

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

· Аналитический способ – задание формулой y = f(x) или F(x,y)=0. В том числе можно выделить параметрический способ задания функции, когда используется параметр, через который выражаются х и y по отдельности.

Пример.

Чтобы перейти от параметрической формы к явной аналитической, необходимо исключить параметр из системы:

Получаем прямую

 

· Словесный способ.

 

Элементарные функции

линейная (),

квадратичная (),

степенная (, где n целое число, не равно 1),

иррациональная (степенная функций с рациональными показателями)

тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x),

обратные тригонометрические (y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx).

показательная (,где a больше 0 и не равно 1),

логарифмическая (, где a больше 0 и не равно 1).

 

Функциональные уравнения

Это такие уравнения, где неизвестной является функция.

 

Плоские множества

Дана исходная функция y=f(x) (то же самое работает для F(x,y)=0).

Ее график (геометрический образ) задает некоторую границу, можно говорить, что эту границу также задает ее уравнение y=f(x) (F(x,y)=0) – точки, координаты которых удовлетворяют уравнению составляют эту границу.

Если рассмотреть неравенство y≥f(x) (F(x,y) ≥0), оно будет задавать область на координатной плоскости, при этом нестрогость знака означает, что граница включена в образ, а строгость – что все ее точки выколоты (обычно обозначается пунктиром).

Пример. - круг единичного радиуса

Преобразование графиков функций и других геометрических образов

Дана исходная функция y=f(x) (то же самое работает для F(x,y)=0)

1. y=f(x)+A – график функции смещается на А единиц вверх (если А >0) или вниз (если А <0) вдоль оси Oy

2. y=f(x-A) – график функции смещается на А единиц вправо (если А >0) или влево (если А <0) вдоль оси Ox

3. y=-f(x) – график функции симметрично отображается относительно оси Ох

4. y=f(-x) – график функции симметрично отображается относительно оси Oy

5. y=|f(x)| - часть графика, находившаяся выше оси Ох, остается неизменной, а часть графика, находившаяся ниже этой оси, симметрично отображается относительно Ох

6. y=f(|x|) – часть графика, находившаяся правее оси Оy, остается неизменной и симметрично отражается влево относительно оси Oy.

7. y=kf(x), где k >0 – происходит растяжение графика функции вдоль оси Oy относительно оси Ох (если k >1)/ сжатие (если k <1)

8. y=f(kx), где k >0 – сжатие вдоль оси Ох относительно Оy (если k >1)/ растяжение (если k <1)

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-12-21 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: