Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Знакопеременные ряды.

– сходится.

Свойства абсолютно сходящихся рядов

1 . Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Т.к. ряд абсолютно сходится, т.е сходится ряд (2) то для него выполняется критерий Коши, т.е. > 0 Nϵ N: n > N p ϵ N Σ + … . Но т.к + … , то и для ряда (1) выполняется критерий Коши.

2 . Если ряд (1) абсолютно сходится, а последовательность –

Т.к + …

Т.к - абсолютно сходится, то > 0 ϵ N + … , > 0 N₂ ϵ N p ϵ N + … . Тогда

p ϵ N < =

4 . Если ряд (1) абсолютно сходится, то и ряд , полученный перестановкой члена ряда (1), абсолютно сходится, причем сумма ряда равна сумме S ряда (1).

Докажем, что ряд – сходится. Ряд отличается от (1) только порядком расположения членов. Поэтому ϵ N K_j ϵ N: . Обозначим = , тогда n< n ϵ N и выполняется неравенство , где – сумма ряда (2). Тогда частичные суммы ряда образуют возрастающую последовательность, ограниченную сверху, т.е она сходится, значит ряд сходится абсолютно.

5 . Если ряды и s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> абсолютно сходятся, то ряд , (*) составленный из всевозможных попарных произведений членов рядов (1) и s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , абсолютно сходится, причем сумма ряда (*) равна произведению сумм рядов и s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

Докажем, что ряд Рассмотрим его частичную сумму , где – суммы рядов и . Т.е. частичные суммы ряда ограничены сверху. Т.к. это ряд с неотрицательными членами, то ряд сходится.

Докажем, что , где – суммы рядов (*), (1) и соответственно. Заметим, что все члены ряда (*) содержатся в следующей таблице:

1	2	5	…
4	3	6	… 11
9	8	7	… 12
…	… 15	… 14	… 13

Пронумеруем элементы этой таблицы «методом квадратов».

Рассмотрим ряд образованный из всевозможных произведений

По доказанному, вида (*), в частности последний ряд, абсолютно сходится, а его сумма не зависит от порядка расположения его членов. Поэтому последний ряд сходится и его сумма =

Пусть – частичные суммы рядов (1), и последнего ряда. Тогда . Т.к. s w:val="28"/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>в†’S</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , при , то при .

C другой стороны, – подпоследовательность последовательности , поэтому, . Значит .

Знакочередующиеся ряды

, где s w:val="28"/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>&gt;0</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ϵ N наз. знакочередующимся. (3)

Теорема Лейбница

Если последовательность монотонно стремится к нулю, т.е

ϵ N и , то знакочередующийся ряд (3) сходится.

Пусть , тогда , т.е. – возрастающая последовательность. Кроме того, = (т.к. и ϵ N), т.е. ограничена сверху. Значит , т.е. ряд расходится.

Следствие. Для знакочередующегося ряда (3) ϵ N справедливы неравенства: ; .

Заметим, что . Т.к. , то . Значит, убывающая последовательность. Итак, предел возрастающей последовательности и убывающей последовательности . Значит, . Перепишем это в виде:

. Отсюда , , т.е. ϵ N выполняется

Пример. , сходится, т.к. монотонно убывает.

Пример. сходится при и расходится при .

Рассмотрим . и сходятся при и расходятся при .

Признаки Абеля и Дирихле сходимости рядов.

Теорема 1. (признак Дирихле).

Ряд (4) сходится, если:

1) Последовательность частичных сумм ряда ограничена, т.е. : ϵ N

2)Последовательность монотонна, стремится у нулю. (без доказательства).

Теорема 2. (признак Абеля)

Ряд (4) сходится, ели ряд сходится, а последовательность монотонна и ограничена.

Т.к. последовательность монотонна и ограничена, то

Тогда монотонна и стремится к нулю. Т.к. сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена. Поэтому сходится по признаку Дирихле. Т.к. и ряд сходится, то сходится.

Условно сходящиеся ряды

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

Пример.

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то числа (или ) можно так представить члены этого ряда, что последовательность частичных сумм получившегося ряда будет иметь своим пределом, при . (без доказательства)