Найти величину груза 
при которой механическая система (рис. 5), состоящая из груза, двух соосных (насаженных неподвижно на единую ось) блоков и однородного диска, находится в положении статического равновесия. Вес диска, радиусы диска и блоков, угол наклона плоскости 
полагать заданными величинами. При решении учесть коэффициент трения качения диска 
. Качение происходит без проскальзывания.
Рис. 5
РЕШЕНИЕ
1. Рассматриваемая механическая система обладает одной степенью свободы.
2. Определим критическое состояние равновесия, соответствующее максимальному значению .
Предположим, система двигалась в направлении указанном стрелками (рис. 5). При таком движении вес груза 1 настолько велик, что «перетягивает» все остальные тела системы. Уменьшая вес груза, приведем систему в состояние равновесия. Это и есть критическое состояние равновесия, соответствующее максимальному значению .
3. Учет трения качения осуществляется приложением к диску момента 
, препятствующего его вращению. Вычисление его значения позволяет трактовать это усилие как активное (задаваемое). Наложенные связи оказываются идеальными (реакции соосного блока приложены в неподвижной точке, реакции диска – в мгновенном центре скоростей, нити нерастяжимы) и для получения условия равновесия механической системы можно воспользоваться принципом возможных перемещений в форме (4).
4. В рассматриваемом случае направления возможных перемещений точек и тел системы соответствуют стрелкам на рис. 5, т.е. система имеет возможное движение только в этом направлении. Запишем выражение для суммы работ всех действующих сил на возможных перемещениях точек их приложения и приравняем 0.
|
|
5. Вынесем за скобку 
. Тогда
.
6. Запишем уравнения связей, используя соотношения кинематики
; 
; 
.
При записи учтено, что нити нерастяжимы, а мгновенный центр скоростей диска, катящегося без проскальзывания, расположен в точке его соприкосновения с плоскостью.
7. Для рассматриваемой механической системы (наложенные связи стационарны и голономны) возможные перемещения пропорциональны соответствующим скоростям, т.е. будут справедливы соотношения
; 
.
8. Приравняв к нулю выражение в круглых скобках, получим выражение для расчета величины 
, при превышении которой механическая система начинает движение в указанном направлении:
.
9. Если предположить, что тела механической системы двигались в противоположном направлении, а затем вес груза увеличили так, чтобы система пришла в состояние равновесия, то это будет критическое состояние, соответствующее минимальному значению веса груза 1.
10. Применяя все предыдущие рассуждения и учитывая, что момент трения качения будет направлен в сторону, противоположную движению, для величины будет получено иное значение:
.
Таким образом, при учете трения качения механическая система будет находиться в покое при любом значении веса груза, находящемся в интервале 
.
Аналогично решаются задачи при учете трения скольжения.