О. А. ЗАБЛОЦКАЯ, Л. С. ПЕТРОВА, А. М. СОКОЛЬНИКОВА

О. А. ЗАБЛОЦКАЯ, Л. С. ПЕТРОВА, А. М. СОКОЛЬНИКОВА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА
«КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ»

Омск 2008

Министерство путей сообщения Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

_________________

О. А. Заблоцкая, Л. С. Петрова, А. М. Сокольникова

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА «Кратные интегралы. теория поля»

Утверждено редакционно-издательским советом университета

Омск 2008

УДК 517.37(075.8)
ББК 22.161.12я73
З−12

Методические указания к изучению раздела «Кратные интегралы. Теория поля»:Методические указания по высшей математике / О. А. Заблоцкая, Л. С. Петрова, А. М. Сокольникова; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2008. 45 с.

Методические указания предназначены для изучения данного раздела курса математики и закрепления навыков решения задач студентами. В первой главе указаний приводятся подробные решения задач, встречающихся в типовом расчете. Вторая глава содержит 30 вариантов заданий. Каждый вариант состоит из 11 задач, содержание которых охватывает практически все основные вопросы программы втуза, связанные с темой «Кратные интегралы. Теория поля».

Предназначены для студентов второго курса технических специальностей очной формы обучения.

Библиогр.: 5 назв., рис. 10.

Рецензенты: доктор физ.-мат. наук И.И.Гончар,
канд. пед. наук Е. И. Федорова.

_______________________________

ÓОмский гос. университет
путей сообщения, 2008

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение............................................................................................ 5

2. Методические указания по решению типовых заданий.................. 6

3. Варианты типовых заданий для самостоятельной работы............. 16

Библиографический список................................................................... 44

ВВЕДЕНИЕ

Математическую основу раздела учебного курса математики «Кратные интегралы. Теория поля» составляет интегрирование скалярных и векторных функций векторного аргумента. Настоящие методические указания имеют целью помощь студентам при освоении техники интегрирования и иллюстрацию физических приложений указанной темы. Они содержат варианты индивидуальных заданий для студентов очной формы обучения.

В первой части приводятся подробные решения типовых задач по рассматриваемой теме. Однако объем методических указаний не позволяет поместить в них разбор всех видов каждого типа задач. Поэтому авторы рекомендуют при выполнении индивидуальных заданий обратить внимание на библиографический список и воспользоваться, в частности, источниками [1, 3, 5].

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ

Задача 1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Решение. Область интегрирования D ограничена линиями, имеющими уравнения , , , и изображенными на рис.1.

Рис. 1

Для смены порядка интегрирования спроецируем область D на ось Оу и получим отрезок

. Заметим, что для

точки выхода из области D лежат на линиях, которые задаются различными уравнениями: для

линией выхода является парабола

, а для

− прямая

. Следовательно, область D надо разбить на две области

прямой

, параллельной оси Ох (рис.1).

Используя свойства интеграла по области, получим

Задача 2. Вычислить повторный интеграл .

Решение. Сначала вычисляем внутренний интеграл, где х является переменной величиной, а у − постоянной. Затем полученный результат интегрируем по переменной у:

Задача 3. Найти массу пластины, ограниченной линиями у =2, у =4, х =0, х=у, если в каждой ее точке поверхностная плотность .

Решение. Масса пластины вычисляется по формуле

Рис. 2

где D − область, которую занимает пластина (рис.2). Для вычисления двойного интеграла перейдем к интегралу повторному, при этом предпочтительным является следующий порядок интегрирования: внутреннее интегрирование по переменной х, внешнее − по у (иначе для определения массы пришлось бы вычислять два повторных интеграла вместо одного).

Задача 4. Найти площадь области, ограниченной линиями , .

-4

Рис. 3

Решение. Площадь области D находим по формуле

Чертеж области D изображен на рис.3. Чтобы не разбивать область на две и не вычислять два повторных интеграла вместо одного, выбираем следующий порядок интегрирования: внутреннее интегрирование по переменной х, внешнее − по у. Находим пределы интегрирования и вычисляем площадь:

Задача 5. Перейдя к полярной системе координат, вычислить интеграл , если D − область, ограниченная линиями , .

Рис. 4

Решение. Используя связь между полярными и декартовыми координатами

, перепишем уравнение линии

в виде

. Это окружность радиуса

с центром в точке (1; 0) (рис.4). Переходя к полярной системе, получим

Задача 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , , .

Рис. 5

Рис. 6

Решение. Построенное по заданным поверхностям тело (рис.5) представляет собой вертикальный цилиндр, имеющий своим основанием область D на плоскости хОу (рис.6) и ограниченный сверху поверхностью

− параболоидом вращения. Объем такого тела вычисляется по формуле

. Найдем значение объема данного тела.

Задача 7. Найти массу тела Т, ограниченного поверхностями , , , , если плотность меняется по закону .

Рис. 7

Рис. 8

Решение. Масса тела вычисляется по формуле

, где плотность

. Тело Т изображено на рис.7, а плоская область интегрирования

− на рис.8.

Задача 8. Вычислить , где − отрезок прямой, соединяющий точки и .

Решение. Пользуясь уравнением прямой, проходящей через две точки , получим уравнение линии интегрирования – прямой : .Так как , то , . Тогда . Вычислим криволинейный интеграл:

Задача 9. Вычислить работу силового поля вдоль дуги параболы от точки до точки .

Решение. Работа силового поля вдоль дуги MN вычисляется с помощью криволинейного интеграла второго рода по формуле , где , . Найдем пределы интегрирования: началу дуги MN соответствует , концу . Учитывая, что и , получаем интеграл

Задача 10. Найти циркуляцию вектора вдоль контура АВСА, получаемого при пересечении параболоида с координатными плоскостями (рис.9). Решить задачу с помощью непосредственного вычисления циркуляции и с помощью формулы Стокса.

Рис. 9

Решение. 1) Имеем

. Циркуляция вектора вычисляется по формуле

Полученные криволинейные интегралы вычислим последовательно.

а) На АВ и , следовательно, . Парабола АВ имеет уравнение . Отсюда , . При перемещении по дуге АВ от точки А до точки В значение х убывает от 1 до 0. Таким образом,

б) На ВС , , . Парабола ВС имеет уравнение . При перемещении по дуге ВС от точки В до точки С переменная z возрастает от 0 до 1. Следовательно,

в) На СА , , . СА − дуга окружности , причем при перемещении от точки С в точку А переменная z убывает от 1 до 0. Следовательно,

Таким образом,

2) Вычислим циркуляцию с помощью формулы Стокса в координатной форме . В качестве поверхности можно взять, например, часть поверхности параболоида, ограниченную контуром АВСА. При этом берется верхняя её сторона, т.к. с конца нормали к этой стороне обход контура виден совершающимся против часовой стрелки. Учитывая, что , , , , , получаем интеграл

Рис. 10

Задача 11. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону поверхности пирамиды, ограниченной

плоскостью и координатными

плоскостями (рис.10): 1) непосредственно; 2) с помощью теоремы Остроградского− Гаусса.

Решение. 1) Поверхность пирамиды ОАВС

состоит из треугольников АОВ, АОС, ВОС и АВС. Следовательно, искомый поток есть сумма потоков через поверхности этих треугольников, причем берется та их сторона, которая является внешней для пирамиды.

а) Вычислим поток через поверхность треугольника АВС:

Для интеграла независимыми переменными являются у и z. Проекцией поверхности на координатную плоскость будет треугольник ВОС. Преобразуем подынтегральную функцию, выразив х через у и z из уравнения поверхности : . Вектор нормали к выбранной стороне поверхности образует с осью Ох острый угол, поэтому при переходе от поверхностного интеграла второго рода к двойному берем знак «+». Получаем:

Для интеграла независимыми переменными являются х и z. Проекцией поверхности на координатную плоскость будет треугольник АОС. Подынтегральная функция не содержит зависимой переменной у, поэтому преобразовываться не будет. Вектор нормали к выбранной стороне поверхности образует с осью Оу острый угол, поэтому при переходе от поверхностного интеграла второго рода к двойному берем знак «+».

Для интеграла независимыми переменными являются х и у. Проекцией поверхности на координатную плоскость будет треугольник АОВ. Подынтегральная функция не содержит зависимой переменной z. Вектор нормали образует с осью Оz острый угол. Следовательно,

Таким образом,

б) Вычислим поток через поверхности треугольников АОВ, АОС, ВОС.

Поэтому:

Следовательно,

Тогда:

Суммируя все вычисленные потоки, получаем:

2) Формула Остроградского− Гаусса имеет следующий вид:

, где , Т − тело, ограниченное поверхностью .

Чтобы воспользоваться этой формулой, возьмем в качестве тела Т область, ограниченную поверхностью пирамиды АОВС.

2. Варианты типовых заданий для самостоятельной работы

Задача 1. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.

1. а)	б)
2. а)	б)
3. а)	б)
4. а)	б)
5. а)	б)
6. а)	б)
7. а)	б)
8. а)	б)
9. а)	б)
10. а)	б)
11. а)	б)
12. а)	б)
13. а)	б)
14. а)	б)
15. а)	б)
16. а)	б)
17. а)	б)
18. а)	б)
19. а)	б)
20. а)	б)
21. а)	б)
22. а)	б)
23. а)	б)
24. а)	б)
25. а)	б)
26. а)	б)
27. а)	б)
28. а)	б)
29. а)	б)
30. а)	б)