Множества и операции над ними.
Понятие множества
Понятие множества является исходным строго не определяемым понятием. В математике понятие множество используется для описания совокупности объектов, отличающихся друг от друга и от объектов, не входящих в эту совокупность.
Примеры множеств: множество вершин данного многоугольника, множество натуральных чисел, множество студентов некоторой группы.
Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: 
, 
, 
, …, а входящие в них элементы – строчными: 
, 
, 
, ….
Если элемент 
принадлежит множеству , это обозначается 
, если не принадлежит - 
.
Множество 
является подмножеством множества 
, если каждый элемент множества 
является элементом множества , обозначается: 
.
Символом 
обозначается пустое множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является подмножеством любого множества.
Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, обозначается: 
.
Обычно множества задаются одним из двух способов:
1. перечислением входящих в него элементов. Например: 
.
2. указанием характеристического свойства элементов множества, т.е. свойства, которым обладают все элементы множества и только они. Например: 
- множество всех равнобедренных треугольников плоскости.
Логические операции (связки)
Для сокращения записи высказываний, задающих множества, используют логическую символику.
Под высказыванием понимают языковое выражение, о котором можно судить истинно оно или ложно. Высказывания обозначаются прописными латинскими буквами: 
, 
, 
, …. Каждому высказыванию можно приписать значение И (истина) или Л (ложь). Вместо этих символов будем применять числа 1 и 0 соответственно.
Определим логические операции и проиллюстрируем их с помощью таблиц истинности:
· Дизъюнкция 
(логическая сумма).
Высказывание 
(читается: « или ») истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний или истинно.
· Конъюнкция 
(логическое умножение).
Высказывание 
(читается: « и ») истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания и истинны.
· Отрицание 
(или 
).
Высказывание 
(читается: «не », «неверно, что ») истинно тогда и только тогда, когда высказывание ложно.
· Импликация 
.
Высказывание 
(читается: «из следует », «если , то ») ложно тогда и только тогда, когда высказывание истинно, а высказывание ложно.Во всех остальных случаях высказывание принимает истинное значение.
· Эквиваленция 
.
Высказывание 
(читается: « тогда и только тогда, когда », « эквивалентно ») истинно тогда и только тогда, когда высказывания и принимают одновременно одинаковые значения.
Таблицы истинности применяются для определения истинности или ложности высказывания.
Высказывания, не состоящие из каких-либо других высказываний, называются атомарными высказываниями. Атомарные высказывания также могут принимать одно из двух истинностных значений: истина или ложь. Символы, с помощью которых обозначают атомарные высказывания, называют атомами. Например, высказывание 
состоит из атомов 
и 
.
Очередность выполнения всех логических операций определяется расстановкой скобок. Например, высказывание 
можно переписать в виде 
.
Порядок выполнения логических операций:
Пример: Составить таблицу истинности для высказывания .
Решение:
Пример: При каких значениях атомов высказывание 
принимает ложное значение?
Решение:
Рассмотрим множество всех высказываний. Введем на этом множестве операции сложения, умножения, дополнения, результаты которых также являются высказываниями. Тогда множество высказываний будет алгеброй, которую называют алгеброй высказываний или булевой алгеброй в честь английского математика Джорджа Буля.
Пример: Записать высказывания в виде формул, употребляя атомы для обозначения атомарных высказываний:
а) Если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлив, и если мистер Джонс несчастлив, то миссис Джонс счастлива.
Решение:
б) Или Сэм пойдет на встречу и Макс не пойдет, или Сэм не пойдет на встречу и Макс отлично проведет там время.
Решение: