Коллоквиум по алгебре для 251-253 групп, весенний семестр 2019/20
Первая часть коллоквиума будет тестовой (8-10 вопросов на 25 минут), по темам, указанным в списке вопросов для второй части. Вопросы теста могут быть как простыми упражнениями, связывающими различные утверждения из курса, так и определениями или формулировками. Ответы на вопросы лучше давать развёрнутые, мотивированные.
Вот несколько примеров вопросов для теста:
а) Сформулируйте основную теорему о гомоморфизме групп.
б) Дайте определение абелевой группы
в) Существует ли группа, у которой нет нормальных подгрупп?
г) Может ли в группе из 6 элементов быть элемент порядка 4?
д) Приведите пример какого-нибудь множества образующих группы S_5.
Список вопросов для второй части коллоквиума
1. Группа, абелева группа. Простейшие свойства групп. Примеры групп (группы, связанные с кольцами, группы преобразований, группы движений, матричные группы).
2. Подгруппа, замечание о равносильных условиях, примеры подгрупп.
3. Подгруппа, порождённая множеством. Существование и единственность, описание её элементов. Примеры (в частности, группа Dn).
4. Степень элемента группы, свойства степени. Порядок элемента группы, свойства порядка.
5. Циклическая подгруппа, описание её элементов. Примеры циклических и нециклических подгрупп.
6. Независимые циклы. Порождающие системы группы Sn: циклы, транспозиции.
7. Чётность перестановки на языке транспозиций и на языке независимых циклов.
Знакопеременная группа.
8. Отношения эквивалентности, связанные с подгруппой. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе, их свойства.
9. Теорема Лагранжа. Вывод теоремы Эйлера из теоремы Лагранжа и другие следствия из теоремы Лагранжа. Индекс подгруппы и его свойства.
10. Условия, при которых отношения эквивалентности, связанные с подгруппой, можно перемножать. Нормальные подгруппы. Умножение смежных классов.
11. Теорема о факторгруппе.
12. Примеры нормальных и ненормальных подгрупп. Центр группы.
13. Цикловый тип перестановки. Критерий нормальности подгруппы симметрической группы.
14*. Теорема об описании нормальных подгрупп в симметрических группах.
15. Гомоморфизмы, мономорфизмы, эпиморфизмы, изоморфизмы групп. Простейшие свойства гомоморфизмов. Примеры (в частности, вложение, канонический эпиморфизм, определитель, знак перестановки).
16. Свойства ядра и образа гомоморфизма групп. Примеры. Описание смежных классов по ядру гомоморфизма.
17. Основная теорема о гомоморфизме групп, примеры её использования
(C*/T, GLn(K)/SLn(K), R+/2πZ).
18. Описание циклических групп, групп простого порядка.
19. Теорема Кэли. Примеры.
20. Прямое произведение групп: определение и лемма о свойствах. Прямое произведение нескольких групп.
21. Теорема о разложении группы в прямое произведение своих подгрупп. Две другие формулировки теоремы.
22. Примеры, связанные с прямым произведением групп (в частности, разложение C*, неразложимость Q+). Формулировка теоремы об описании конечно порожденных абелевых групп, следствие и замечание к ней.
Упражнения (могут быть выданы на коллоквиуме, в основном – на пятёрку)
1. Доказать обобщенную ассоциативность операции в группе (т.е. независимость от расстановки скобок)
2. Найти при помощи элементарных матриц порождающее множество для SLn(K).
3. Для каких натуральных чисел n группа Z/nZ* циклическая? (Считаем известным факт существования первообразного корня по любому простому модулю).
4. Докажите, что группа Sn порождена: а) транспозициями вида (1,i); б) транспозициями соседних элементов.
5. Докажите, что множество транспозиций – минимальное порождающее для группы Sn тогда и только тогда, когда соответствующий им граф является деревом.
6. Докажите, что тройные циклы порождают группу An.
(дальнейшие упражнения есть в электронном конспекте).
7. Докажите, что при n > 4 An порождается всеми перестановками вида (𝑖𝑗)(𝑘𝑙) (произведениями двух независимых транспозиций).
8. Докажите, что изоморфизм с описанными в условии основной теоремы о гомоморфизме групп свойствами единственен.
9. Сколько существует изоморфизмов между циклической группой порядка 𝑛 и группой Z/𝑛Z?
10. Найдите минимальное 𝑚 такое, что группа 𝐺 изоморфна подгруппе группы 𝑆𝑚, для: а) циклической группы 𝐺 порядка 8; 9; 10; б) 𝐺 = 𝐷4;5;𝐷6.
11. Раскладывается ли группа: а) Z/9Z; б) 𝑆4; в) 𝐷9 в прямое произведение каких-либо двух своих нетривиальных подгрупп?
12. С помощью основной теоремы о гомоморфизме групп докажите следующее утверждение: пусть 𝐹, 𝐻 -– нормальные подгруппы группы 𝐺, причём 𝐻 содержится в 𝐹, тогда 𝐻 - нормальная подгруппа в 𝐹, 𝐹/𝐻 = нормальная подгруппа в 𝐺/𝐻, причём группа (𝐺/𝐻)/(𝐹/𝐻) изоморфна 𝐺/𝐹.
13. Что можно сказать о длинах независимых циклов перестановок, лежащих в образе мономорфизма, построенного в доказательстве теоремы Кэли?