Тема 1.1. Матрицы и определители

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Матрицей А размера m×n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений a_ij (называемых элементами матрицы):

Квадратной матрицей n -го порядка называется матрица размера n×n, например, В= – квадратная размера 3×3.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т. е. с индексами i≠j) равны 0, например, .

Единичной (обозначается Е) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали, например, .

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны 0, например, .

§1. Операции над матрицами.

Суммой матриц A=(a_ij) и B=(b_ij) одинакового размера называется матрица C=(c_ij) того же размера, причём c_ij= a_ij+ b_ij.

Произведением матрицы А=(a_ij) на число λ называется матрица B=(b_ij) того же размера, что и матрица А, причём b_ij=λ a_ij.

Произведением матриц А∙В (размеров m×n и n×r соответственно) называется матрица С размера m×r, такая, что c_ij= .

Произведение матриц А∙В существует, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы В.

Пример № 1. Найти произведение матриц А∙В и В∙А(если это возможно),если А= , В= .

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, поэтому произведение А∙В существует. Найдём это произведение:

А∙В= ∙ = = = .

Произведение В∙А не существует, т. к. число столбцов матрицы В(3) не совпадает с числом строк матрицы А (2).

Коммутирующими (или перестановочными) называются матрицы А и В, для которых АВ=ВА.

Транспонированной к матрице А= называется матрица , такая, что (т. е. все строки которой равны соответствующим столбцам матрицы А).

Пример № 2. Транспонировать матрицу .

Решение. Записывая первую и вторую строки матрицы А как первый и, соответственно, второй столбец матрицы , получим матрицу

Задание № 1(пример). Найти значение матричного многочлена f(A), если

Решение. , где – единичная матрица.

1) .

Ответ. .

§2. Определители.

Любой квадратной матрице n -го порядка можно поставить в соответствие выражение, которое называется определителем (детерминантом) матрицы А, и обозначается так: А= или |A| или det A.

Вычисление определителей. Определитель матрицы A размера 2 x 2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель матрицы A размера 3 x 3 (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

Задание №2 (пример). Вычислить определитель:

Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала формулой , а затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой .

Запишем это так: det A=

Ответ. Det A= ‒61.

Тема 1.2 Решение систем линейных уравнений по методу Крамера.

Пусть система из n линейных уравнений с n неизвестными задана в матричной форме: AX=B, где A=(a_ij) – матрица коэффициентов системы размера n×n, столбец неизвестных, столбец свободных членов.
Если D – определитель матрицы А – не равен нулю, то система совместна и определена, её решение задаётся формулой:
Другую форму записи этого утверждения дают формулы Крамера:

, k= 1, 2, …, n, где D_k – определитель, получающийся из D заменой k- го столбца на столбец свободных членов.

Задание №3 (пример). Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

Решение.
а) Решим систему по формулам Крамера. Для этого найдём определитель матрицы системы: Так как D ≠0, то система совместна и определена. Найдём определители D₁, D₂, D₃ подставляя столбец свободных членов вместо первого, второго и третьего столбцов определителя D соответственно:
,