Вариант № 35479366
1. Мобильный телефон стоил 3000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2220 рублей. На сколько процентов была снижена цена?
Решение.
Цену на телефон снизили на 3000 − 2220 = 780 рублей. Разделим 780 на 3000:
Значит, цену снизили на 26%.
Ответ: 26.
2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по приведённой диаграмме наименьшую среднемесячную температуру во второй половине 1988 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение.
Из диаграммы видно, что во второй половине 1988 года наименьшая температура составляла 2 градуса.
Ответ: 2.
3. 
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к этому основанию или его продолжению. Поэтому 
Ответ: 15.
4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 30 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Голландии и 6 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.
Решение.
Всего в соревнованиях принимает участие 30 спортсменов. Значит, вероятность того, что спортсмен из Парагвая будет выступать шестым равна 6: 30 = 0,2.
Ответ: 0,2.
5. Решите уравнение 
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение.
Возведем в квадрат:
Уравнение имеет единственный корень, он и является ответом.
Ответ: 6.
Примечание.
Можно было сделать проверку. Подставляя число 6, получаем верное равенство 
, поэтому число 6 является корнем. Подставляя число −1, получаем неверное равенство 
, поэтому число −1 не является корнем.
6. 
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 
окружности. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, искомый угол равен 
окружности или 
Ответ: 15.
7. 
На рисунке изображен график функции 
определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество решений уравнения 
на отрезке [0; 8].
Решение.
Производная равна 0 в точках экстремумов, таких точек на графике на заданном отрезке 3.
Ответ: 3.
8. 
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 2, 4, 5 и 1, 1, 2, уменьшенной на 4 площади прямоугольника со сторонами 1, 1 — передней грани маленького параллелепипеда, излишне учтенной при вычислении площадей поверхностей параллелепипедов:
Ответ: 82.
9.
Найдите значение выражения 
при 
Решение.
Выполним преобразования:
Ответ: 7.
10. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a = 5000 км/ч2. Скорость вычисляется по формуле 
, где 
— пройденный автомобилем путь в км. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 100 км/ч.
Решение.
Преобразуем данную в условии формулу:
Подставим значения и вычислим:
Ответ: 1.
11. Бригада маляров красит забор длиной 150 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 75 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение.
Пусть в первый день бригада покрасила 
метров забора, во второй — 
, …, в последний — 
метров забора. Тогда 
м, а за 
дней было покрашено
метров забора.
Поскольку всего было покрашено 150 метров забора, имеем: 
, откуда 
Таким образом, бригада красила забор в течение 4 дней.
Ответ: 4.
12. Найдите точку максимума функции 
Решение.
Заметим, что 
при 
Найдем производную этой функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума 
Ответ: −3,25.
13. а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
Решение.
а) Запишем уравнение в виде 
Сделаем замену 
Получаем 
Тогда 
или 
, откуда 
или 
Тогда 
или 
откуда 
где 
б) Отберём корни на отрезке 
с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
Ответ: а) 
б) 
14. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами 
и 
Длины боковых ребер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Решение.
<i
</i
а) Заметим, что 
и 
поэтому 
значит, 
б) Поскольку 
и 
AD перпендикулярна плоскости ASB. Так как BC и AD параллельны, угол CSB искомый.
Ответ: 30.
15. Решите неравенство 
Решение.
Запишем исходное неравенство в виде
Случай 
Случай 
Ответ: 
16. Высоты 
и 
остроугольного треугольника 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите 
если 
и 
Решение.
а) В четырёхугольнике 
углы 
и 
— прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём 
— её диаметр. Вписанные углы 
и 
опираются на одну дугу, следовательно, 
Углы 
и 
— прямые, значит, точки 
и лежат на окружности с диаметром 
Следовательно,
Получаем, что 
б) В треугольнике 
диаметр описанной окружности 
откуда
В прямоугольном треугольнике 
имеем:
В прямоугольном треугольнике 
имеем:
Получаем, что 
Треугольники и 
имеют общий угол 
и 
следовательно, они подобны. Тогда 
Значит,
Ответ: 18.
17. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.
Решение.
Пусть первоначальный вклад равен S млн рублей. Тогда в конце первого года вклад составит 1,1 S, а в конце второго — 1,21 S. В начале третьего года вклад составит 1,21 S + 2, а в конце — 1,331 S + 2,2. В начале четвёртого года вклад составит 1,331 S + 4,2, а в конце — 1,4641 S + 4,62.
По условию, нужно найти наибольшее целое S, для которого выполнено неравенство
откуда 
Наибольшее целое решение этого неравенства — число 7. Значит, размер первоначального вклада составляет 7 млн рублей.
Ответ: 7 млн рублей.
Приведем другое решение.
Ясно, что первоначальный вклад не мог равняться 11 млн руб., поскольку дважды пополнялся на 2 млн руб., но остался меньше 15 млн руб. Не мог он быть равным и 10 млн руб., поскольку пополнение такого вклада на 10% увеличивает его на миллион, а за 4 года было 4 таких пополнения. Аналогично проверяя 9, 8 и 7 млн рублей, убедимся, что наибольшим возможным размером начального вклада является 7 млн руб.
18. Найдите все значения параметра 
при каждом из которых система
имеет ровно два решения.
Решение.
Неравенство (1) задает пару вертикальных углов на координатной плоскости 
(см. рисунок).
При 
графиком уравнения (2) является точка (-1; -1) и система не может иметь более одного решения.
При 
графиком уравнения (2) является окружность радиуса 
центр которой ― точка 
― лежит на прямой 
Поскольку оба графика симметричны относительно прямой 
система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние 
от центра окружности до прямой 
будет равняться радиусу 
данной окружности.
Из треугольника 
находим: 
, где 
― угловой коэффициент прямой
Таким образом, 
откуда
Окончательно получаем:
Ответ: 
или 
19. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Решение.
а) Каждый сотрудник должен получить 20 000 рублей. Выдадим 27 сотрудникам по четыре пятитысячных купюры, одному — две пятитысячных и десять тысячных, двенадцати — по 20 тысячных.
б) каждый сотрудник, кроме ведущего специалиста, должен получить 9000 рублей, поэтому нужно будет выдать каждому не менее четырёх тысячных купюр, значит, всего их нужно не менее 320 штук. Следовательно, без сдачи и размена выдать премии не удастся.
в) Если сотрудников 64 или больше, то распределим премии так: 63 человека должны получить по 4 тысячи, один — всё остальное, остальные — ничего. Тогда выдать премии будет нельзя по тем же причинам, что и в пункте «б».
Если же их не больше 63, то выберем всех, кроме одного. Будем выдавать им премии, используя не более четырёх тысячных купюр, пока не кончится пятитысячные.
Если пятитысячные купюры закончились, то оставшиеся премии выдать точно удастся. Если же нет, то все премии, кроме одной, будут выданы, а последний просто заберёт все оставшиеся деньги.
Ответ: а) да; б) нет; в) 63.
Ключ
№ п/п
№ задания
Ответ
0,2
-3,25
а) 
б) 
30.
18.
7 млн рублей.
а) да; б) нет; в) 63.