Кривые поверхности пересекаются в общем случае по пространственной кривой линии, проекции которой строятся обычно по точкам. Для нахождения этих точек заданные поверхности пересекают третьей вспомогательной секущей поверхностью, определяют линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных, затем находят общие точки построенных линий пересечения. Повторяя такие построения многократно, получают необходимое количество точек для определения линии пересечения.
Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей состоит в следующем:
· выбирают вид вспомогательных поверхностей. При выборе вспомогательной секущей поверхности следует выбирать поверхности, которые пересекали бы заданные поверхности по наиболее простым для построения линиям - прямым или окружностям.
В качестве вспомогательных поверхностей - посредников наиболее часто используют плоскостии сферы;
· строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями;
· находят точки пересечения полученных линий и соединяют их между собой;
· определяют видимость линии пересечения относительно рассматриваемых поверхностей и плоскостей проекций.
При решении задач на построение линии пересечения кривых поверхностей в качестве вспомогательных поверхностей будем использовать вспомогательные секущие плоскости. Вспомогательные секущие плоскости пересекают каждую поверхность по простейшему сечению (прямые линии или окружность). Точки пересечения полученных сечений являются точками пересечения данных поверхностей.
Построения начинают с определения характерных (опорных) точек (точки расположенные на очерковых образующих поверхностей, которые обычно делят линию пересечения на видимую и невидимую части (границы видимости); высшая и низшая точки линии пересечения; крайние точки (правая и левая).
При построениях применяют способы преобразования чертежа, если это упрощает и утоняет построения.
Задача. Построить линию пересечения прямого кругового конуса и сферы (рис.1).
Рисунок 1 – Графическое задание к задаче
Центры пересекающихся поверхностей лежат в одной плоскости симметрии (рис.2), следовательно на фронтальной плоскости проекций пересечение очерквых образующих пересекающихся поверхностей дают нам верхнюю 12 и нижнюю 22 точки (характерные точки) линии их пересечения (рис. 3).
Рисунок 2 -Положение плоскости симметрии
Рисунок 3 - Определение верхнейи нижней точки пересечения поверхностей
Для определения промежуточных точек рассекаем обе поверхности вспомогательными плоскостями так чтобы в сечениях поверхностей получились простейшие сечения – окружности. Рассекаем обе поверхности плоскостью α (синия линия) дающей в сечении конуса и сферы окружности (рис. 4). Строим эти сечения на горизонтальной проеции. Для конуса радиус сечения Rk – расстояние от оси конуса до очерковой образующей конуса по линии вспомогательной секущей плоскости α. Для сферы в сечении окружность радиусом Rc – расстояние от оси сферы до очерковой образующей сферы по линии вспомогательной секущей плоскости α.
Рисунок 4 – Определение точек лини пересечения поверхностей для вспомогательной плоскости α
Определяем на горизонтальной проекции точки пересечения этих сечений 31 и 41. Данные точки принадлежат одновременно поверхности конуса и поверхности сферы, так как они принадлежат обеим линиям сечения. Следовательно, эти точки принадлежат линии пересечения этих поверхностей. Поднимаем эти точки на линию плоскости α на фронтальной плоскости проекций - получаем их фронтальные проекции 32 и 42.
Вторую вспомогательную секущую плоскость m (розовая линия) проводим через экватор сферы (рис. 5). У сферы в сечении окружность радиусом Rсф, у конуса окружность, радиус которой равен расстоянию от оси конуса до его очерка по линии плоскости m. Строим на горизонтальной проекции сечения поверхностей и определяем их точки пересечения 51 и 61. Это также искомые точки сечения. Поднимаем их на фронтальную плоскость проекций, на линию плоскости m2, получаем 52 и 62.
Рисунок 5 - Ссечение поверхностей плоскостью m
Рассекаем поверхности вспомогательной плоскостью n (оранжевая линия), располагающейся ниже экватора сферы (рис. 6). На рисунке показан радиус сечения сферы и радиус сечения конуса. Строим сечения поверхностей на горизонтальной плоскостии определяем их точки пересечения 71 и 81. Определяем фронтальную проекцию этих точек 72 и 82 на n2.
Соединяем полученные точки плавной линией с учётом видимости (рис. 7).
Посмотреть видео по данной теме можно по ссылке https://www.youtube.com/watch?v=QnWVc-2sS20
Рисунок 6 – Сечение поверхностей плоскостью n
Рисунок 8 – Построение линии пересечения поверхностей
Задача. Построить линию пересечения конуса и цилиндра вращения (рис. 2).
Рисунок 2 – Пересечение кривых поверхностей
В первую очередь определяем характерные точки линии пересечения:
- проекции высшей и низшей точек А2 и E2 определены при помощи вспомогательных горизонтальных плоскостей Q и W, которые пересекают поверхность цилиндра и конуса по крайним образующим. Горизонтальные проекции точек находятся на горизонтальной проекции очерковой образующей конуса SB;
- точки С' и С найдены при помощи горизонтальной плоскости S, проведенной через ось цилиндра. Плоскость S пересекает поверхность цилиндра по крайним образующим (передней и задней), а поверхность конуса — по окружности. Пересечения горизонтальных проекций крайних образующих и окружности дают точки С1' и С1 — горизонтальные проекции точек С2' и С2. Фронтальные проекции этих точек лежат на фронтальном следе плоскости S2.
Промежуточные точки линии пересечения найдены при помощи горизонтальных плоскостей Р и R.