ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1
Вычисление производных.
Цель: - повторить правила и формулы вычисления производных;
- закрепить навыки вычисления производных.
Теоретический материал.
Пусть величина у зависит от аргумента х как у = f(x). Если f(x) была зафиксирована в двух точках значениях аргумента: x1, x2, то мы получаем величины у1 = f(x1), и у2 = f(x2). Разность двух значений аргумента x 2, x 1 назовём приращением аргумента и обозначим как Δ x = x 2- x 1. Если аргумент изменился на Δ x = x 2- x 1, то функция изменилась (приросла) как разность двух значений функции
у1 = f(x1), у 2 = f(x2) на величину приращения функции Δf. Записывается обычно так:
Δ f = у1 – у2 = f(x2 ) - f(x1). Считается, что если величины x2 и x1, бесконечно близки по величине друг к другу, тогда Δ x = x2 – x 1, - бесконечно мало.
Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции Δ f в этой точке к приращению аргумента Δ х, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). 
Нахождение производной называется дифференцированием. Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.
Правила дифференцирования (и, v, w — функции аргумента х, по которому
производится дифференцирование, с - постоянная).
1. Производная алгебраической суммы 
2. Производная произведения 
3. Производная частного (дроби) 
4. Производная сложной функции (функции от функции).
Если 
Таблица основных формул дифференцирования
| № п/п | Функция | Производная | № п/п | Функция | Производная | № п/п | Функция | Производная |
| C (постоянная) | ex | ex | ctg x | 
| ||||
 (n – постоянная)
| 
| 
| 
| arcsin x | 
| |||
| x | ln x | 
| arccos x | 
| ||||
| 
| sin x | cos x | arctg x | 
| |||
| 
| cos x | –sin x | arcctg x | 
| |||
| ax, (a > 0) | ax ln a | tg x |  
| lg x | 
|
Порядок выполнения работы.
1)Изучите примеры нахождения производных.
Пример 1. Найдите производную функции:
1) 
; 2) 
3) 
Решение
1) 
2) 
Учитывая, что  ;  имеем
 3) 
Учитывая, что  имеем
| Пояснения
В задании 1 надо найти производную суммы по формуле ;
в задании 2 – производную произведения в задании 3 – производную частного 
Также в заданиях 1 и 2 следует использовать формулу  , а в задании 2 учесть, что при вычислении производной 2 x постоянный множитель 2
можно вынести за знак производной.
|
Пример 2. Вычислите значение производной функции 
в точках х = 4 и х = 0,01.
Решение
| Пояснения
Для нахождения производной в указанных точках достаточно найти производную данной функции и в полученное выражение подставить заданные значения аргумента. При вычислении производной следует учесть, что заданную разность можно рассматривать, как алгебраическую сумму выражений х 2 и  , а при нахождении производной за знак производной вынести постоянный множитель (- 5).
|
Пример 3. Найдите значения х, при которых производная функции 
равна 0.
Решение
 Тогда 
Ответ: х = 2.
| Пояснения Чтобы найти соответствующие значения х, достаточно найти производную данной функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. |
Пример 4. Найдите производную функции:
1) 
2) 
Решение
1) 
Учитывая, что  получаем 
| Пояснения В заданиях 1 и 2 необходимо найти соответственно производную степени и корня, но в основании степени и под знаком корня стоит не аргумент х, а выражение с этим аргументом (тоже функция от х). Следовательно, необходимо найти производные сложных функций. |
2) Выполните задания.
1 вариант
Уровень.
1) Найти соответствие между функцией и её производной.
| 1. С | 2.
| 3. х | 4.
| 5.
| 6.
|
7.
| 8.
| 9.
| 10.
| 11.
| 12.
|
13.
| 14.
| 15.
| 16.
| 17.
| 18.
|
| 19. | 20.
| 21.
| 22.
| 23.
| 24.
|
25.
| 26.
| 27. | 28.
| 29.
| 30.
|
| 31.
| 32.
| 33.
| 34.
| 35.
| 36.
|
2) Сопоставьте функции её производную.
| Функция | Производная | |||
|
| 2 х | -2 cos x sin x | cos(x +2) | |
| x 2 + 1 | ||||
| sin(x + 2) | ||||
| ln x | ||||
| cos2 x |
Уровень.
3) Вычислите производную функции:
1) у = 
; а) х 6; б) 
; в) 7 х 7.
2) у = х 3 + 5 
; а) 4 х 2 +5 ; б) 3 x 2 + 
; в) 3 х 2 + 
.
3) у = 
; а) х - 4; б) 
; в) 
.
4) у = 
; а) 
; б) - 
; в) 
.
4) Вычислите значение производной функции у = 
при х = 7.
| а | б | в | г |
| 
|
Уровень.
5) Вычислите производную сложной функции f(x) = 
.
2 вариант
Уровень.
1) Найти соответствие между функцией и её производной.
| 1. С | 2.
| 3. х | 4.
| 5.
| 6.
|
| 7.
| 8.
| 9.
| 10.
| 11. | 12.
|
| 13.
| 14.
| 15.
| 16.
| 17.
| 18.
|
| 19. | 20.
| 21.
| 22.
| 23.
| 24.
|
| 25.
| 26.
| 27.
| 28.
| 29.
| 30.
|
| 31.
| 32.
| 33.
| 34.
| 35.
| 36.
|
2) Сопоставьте функции её производную
| Функция | Производная | |||
| 5 х 4 | 2 cos x sin x | - sin (x - 6) | |
| x 5 + 1 | ||||
| cos(x -6) | ||||
| log 2 x | ||||
| sin2 x |
Уровень.
3) Вычислите производную функции:
1) у = 
; а) х 4; б) 
; в) 5 х 5.
2) у = х 7 + 3 
; а) 7 х 6 +3 ;б) 7 x 6 + 
; в) 7 х 6 + 
.
3) у = 
; а) х - 5; б) 
; в) 
.
4) у = 
; а) 
; б) 
; в) 
.
4) Вычислите значение производной функции у = 
при х = 0.
| а | б | в | г |
| 1,5 | -2 |
Уровень.
5) Вычислите производную сложной функции f(x) = 
.