ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Задача 1
Ступенчатый брус из стали Ст4 нагружен, как показано на рис. П.1.1, а. Из условия прочности подобрать размеры поперечного сечения. Построить эпюру перемещения сечений.
Дано:
F1=28 кН; F2=15 кН; F3=22 кН; a=0,6 м; b=0,8 м; c=1,1 м.
Решение
I. Определение внутренних усилий и напряжений.
В защемлении возникает опорная реакция R (рис. П1.1, а), вычислять которую нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять, рассматривая брус со свободного конца. Методом сечений находим внутренние усилия на каждом из участков, проецируя силы на продольную ось бруса. Строим эпюру внутренних усилий (рис. П.1.1, б).
Проверка. Сечениям, к которым приложена сосредоточенная сила, на эпюре N соответствуют скачки на величину приложенной силы и в направлении ее действия:
Сечение g: ΔNg = (NI – 0) = (–28 – 0) = –28 кН = F1 (скачок в минус)
Сечение f: ΔNf = (NII – NI) = (–13 – (–28)) = 15 кН = F2 (скачок в плюс)
Сечение e: ΔNe = (NIII – NII) = (9 – (–13)) = 22 кН = F3 (скачок в плюс)
Определив напряжения, приходим к выводу, что опасным является участок II. Знак напряжения в расчетах на прочность элементов из пластичных материалов роли не играет, поскольку они сопротивляются растягивающим и сжимающим нагрузкам одинаково.
II. Проектный расчет.
Из условия прочности при растяжении находим требуемое значение площади поперечного сечения
Допускаемое напряжение назначено согласно рекомендациям таблицы П1.
Вычислив фактические напряжения на каждом из участков, строим эпюру напряжений (рис. П1.1, в).
III. Деформации бруса.
Удлинения каждого из участков определим, используя закон Гука при растяжении:
Для построения эпюры перемещения сечений начало отсчета выберем в сечении d, поскольку оно неподвижно (защемлено).
Строим эпюру перемещения сечений (рис. П1.1, г).
Вывод. Найдено положение опасного участка в ступенчатом брусе. Из условия прочности подобрана площадь поперечного сечения опасного участка. Исходя из заданного соотношения площадей, вычислены площади поперечных сечений остальных участков. Рассчитаны деформации каждого из участков, построена эпюра перемещений сечений; полная длина бруса уменьшилась на 0,595 мм.
Задача 2.
К ступенчатому валу из стали Ст5 с отношением диаметров D/d=2 приложены крутящие моменты, как показано на рисунке П1.2, а. Из условия прочности при кручении определить диаметры вала. Построить эпюру углов закручивания.
Дано:
M1 = 15 кН; a = 0,6 м;
M2 = 22 кН; b = 0,8 м;
M3 = 28 кН; c = 1,1 м;
e = 1,2 м.
Решение
I. Определение внутренних усилий и напряжений.
В защемлении возникает опорный момент М (рис. П.1.2, а), вычислять который нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять, рассматривая брус со свободного конца. Методом сечений находим внутренние усилия на каждом из участков, составляя сумму моментов относительно продольной оси бруса. Строим эпюру внутренних усилий (рис. П1.2, б).
Проверка. Сечениям, к которым приложена пара сила, на эпюре Т соответствуют скачки на величину приложенного момента и в направлении его действия.
Сечение m: ΔTm = (TI – 0) = (–15 – 0) = –15 кН = M1 (скачок в минус)
Сечение h: ΔTh = (TII – TI) = (–37 – (–15)) = –22 кН = M2 (скачок в минус)
Сечение g: ΔTg = (TIII – TII) = (–37– (–9)) = –28 кН = M3 (скачок в плюс)
Определив касательные напряжения, приходим к выводу, что опасным является участок I. Знак напряжения в расчетах на прочность элементов из пластичных материалов роли не играет.
II. Проектный расчет.
Из условия прочности при кручении находим требуемое значение полярного момента сопротивления сечения
Поскольку
то
Принимаем полученное значение диаметра вала, округлив до стандартного значения: d = 85 мм, D = 170 мм. Допускаемое напряжение для стали Ст5 при кручении назначено согласно рекомендациям таблицы П1.
Вычислив фактические напряжения на каждом из участков, строим эпюру напряжений (рис. П2.2, в).
III. Деформации вала.
Угол закручивания каждого из участков определим, используя закон Гука при кручении, вычислив предварительно полярные моменты инерции. Для участков II, III и IV они одинаковы.
Здесь G = 80 ГПа – модуль касательной упругости.
Для построения эпюры перемещения сечений начало отсчета выберем в сечении f, поскольку оно неподвижно (защемлено):
Строим эпюру углов закручивания сечений (рис. П1.2, г).
Вывод. Найдено положение опасного участка в ступенчатом вале. Из условия прочности подобран диаметр вала опасного сечения. Исходя из заданного соотношения диаметров, вычислены размеры поперечных сечений остальных участков. Рассчитаны деформации каждого из участков, построена эпюра углов закручивания сечений; крайнее левое сечение вала повернулось относительно защемления на угол 0,03164 радиана.