Определение и свойства ОИ.

Лекция 19 Определение и свойства определенного интеграла (2ч)

Содержание лекции: Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение и свойства определенного интеграла. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.

Доказательство свойств определенного интеграла

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1. Найти массу тонкого прямолинейного стержня длины l с переменной линейной плотностью.

Решение. Стержень тонкий – это значит, что поперечные размеры его столь малы по сравнению с длиной, что ими можно пренебречь. Предположим, что зависимость плотности от расстояния точки стержня до одного из его концов известна и может быть описана некоторой функцией. Составим математическую модель задачи следующим образом. Будем интерпретировать стержень с отрезком оси ОХ длины l, например с отрезком [0, l ]. Тогда переменная плотность масс точек стержня есть функция переменной х Î[0, l ], обозначим ее r(х). Разобьем отрезок [0, l ] на п произвольных частей и обозначим длины этих частичных отрезков D l_i, i = 1,..., n.

Будем полагать, что п достаточно велико, а D l_i достаточно малы. На каждом из этих отрезков разбиения возьмем произвольную точку x _i и в силу малости длины D l_i можем предполагать, что величина плотности в пределах каждого частичного отрезка меняется незначительно и приближенно равна r(x _i). Тогда на каждом отрезке разбиения масса участка стержня приближенно равна m_i »r(x _i)D l_i, а масса всего стержня и это равенство тем точнее, чем меньше D l_i (т.е. чем больше п). Поэтому естественно считать искомую массу равной

Задача 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), прямыми х = а и х = b и отрезком [ a, b ] оси ОХ.(рис.1).

Решение. Разобьем отрезок [ a, b ] на п произвольных частей точками х ₁, х ₂,..., х­_п, обозначим D х_i длину частичного отрезке [ x_{i– 1}, x_i ].

Построим прямоугольники с основаниями D х_i и высотами f (x _i), где x _i – произвольная точка из отрезка [ x_{i– 1}, x_i ]. Тогда сумма площадей этих прямоугольников приближенно равна площади заданной криволинейной трапеции

причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньше D х_i. Поэтому можно считать, что .

Если сравнить ответы в этих задачах, можно заметить, что в каждом из них содержатся выражения одинакового характера: предел суммы произведений значений заданной функции в точках отрезков разбиения на длины этих отрезков. Оказывается, существует множество других задач, совершенно различного содержания и из различных областей науки, которые приводят к пределам подобного рода. Поэтому естественно рассмотреть соответствующую абстрактную конструкцию.

Определение и свойства ОИ.

Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [ a, b ]. Разобьем отрезок [ a, b ] на п произвольных частичных отрезков точками

а = х ₀ < x ₁ < x ₂ <... < x_n = b.

Эти точки называются точками разбиения. Обозначим длину отрезка [ x_{i– 1}, x_i ] разбиения символом D х_i, т.е. D х_i = x_i – x_{i– 1}, а наибольшую из этих длин обозначим l _п ,т.е. l _п = . На каждом из частичных отрезков [ x_{i– 1}, x_i ] возьмем произвольную точку x _i и вычислим значение функции в этой точке f (x _i). Составим сумму , которую называют интегральной суммой для функции f (х), соответствующей данному разбиению и данному выбору точек x _i. Если при п ® ¥ l _п ® 0, то соответствующую последовательность разбиений называют нормальной.

Определение 19.1. Если для всякой нормальной последовательности разбиений существует конечный предел интегральной суммы при l _п ® 0, не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек x _i, то это предел называют определенным интегралом от функции f (х) на отрезке [ a, b ] и обозначают .

Здесь f (х) – подынтегральная функция, f (х) dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования, [ a, b ] – отрезок интегрирования, a, b – пределы интегрирования: a – нижний, b – верхний.

Таким образом, по определению . В этом случае функция f (х) называется интегрируемой на отрезке [ a, b ].

Из определения следует, что определенный интеграл есть число. это число зависит только от вида функции f (х) и от чисел a и b, и не зависит от переменной интегрирования, т.е. = = =....

Учитывая рассмотренные ранее задачи о массе и о площади криволинейной трапеции, можно дать следующую физическую и геометрическую интерпретацию понятию определенного интеграла:

с физической точки зрения интеграл численно равен массе прямолинейного тонкого неоднородного стержня длины l = b – a, с переменной линейной плотностью r = f (x), f (x) ³ 0, где х – расстояние от точки стержня до его левого конца;

с геометрический точки зрения интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f (x), f (x) ³ 0, прямыми х = а и х = b и отрезком [ a, b ] оси ОХ.

Мы назвали функцию интегрируемой на отрезке [ a, b ], если для нее существует определенный интеграл на этом отрезке. Рассмотрим условия интегрируемости функции.

Теорема 19.1.(необходимое условие интегрируемости)

Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке.

Заметим, что обратное утверждение не верно, например, функция Дирихле

ограничена на любом отрезке [ a, b ], но не интегрируема на нем, т.к. предел интегральной суммы зависит от выбора точек x _i.

Теорема 19.2.(достаточные условия интегрируемости)

1) Если функция непрерывна на [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке.

2) Если функция ограничена на [ a, b ] и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва (кусочно-непрерывная функция), то она интегрируема на этом отрезке.

3) Монотонная ограниченная на [ a, b ] функция интегрируема на этом отрезке.