Определение и свойства ОИ.




Лекция 19 Определение и свойства определенного интеграла (2ч)

Содержание лекции: Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение и свойства определенного интеграла . Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.

Доказательство свойств определенного интеграла

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

 

Задача 1. Найти массу тонкого прямолинейного стержня длины l с переменной линейной плотностью.

Решение. Стержень тонкий – это значит, что поперечные размеры его столь малы по сравнению с длиной, что ими можно пренебречь. Предположим, что зависимость плотности от расстояния точки стержня до одного из его концов известна и может быть описана некоторой функцией. Составим математическую модель задачи следующим образом. Будем интерпретировать стержень с отрезком оси ОХ длины l , например с отрезком [0, l]. Тогда переменная плотность масс точек стержня есть функция переменной хÎ[0, l], обозначим ее r(х). Разобьем отрезок [0, l] на п произвольных частей и обозначим длины этих частичных отрезков Dli, i = 1,...,n.

 

 

Будем полагать, что п достаточно велико , а Dli достаточно малы. На каждом из этих отрезков разбиения возьмем произвольную точку xi и в силу малости длины Dli можем предполагать, что величина плотности в пределах каждого частичного отрезка меняется незначительно и приближенно равна r(xi). Тогда на каждом отрезке разбиения масса участка стержня приближенно равна mi »r(xi)Dli, а масса всего стержня и это равенство тем точнее, чем меньше Dli (т.е. чем больше п). Поэтому естественно считать искомую массу равной

Задача 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), прямыми х = а и х = b и отрезком [a, b] оси ОХ.(рис .1).

Решение. Разобьем отрезок [a, b] на п произвольных частей точками х1, х2,..., х­п, обозначим Dхi длину частичного отрезке [xi1, xi].

 

 

 


Построим прямоугольники с основаниями Dхi и высотами f(xi), где xi – произвольная точка из отрезка [xi1, xi]. Тогда сумма площадей этих прямоугольников приближенно равна площади заданной криволинейной трапеции

причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньше Dхi .Поэтому можно считать, что .

Если сравнить ответы в этих задачах, можно заметить , что в каждом из них содержатся выражения одинакового характера: предел суммы произведений значений заданной функции в точках отрезков разбиения на длины этих отрезков. Оказывается, существует множество других задач, совершенно различного содержания и из различных областей науки, которые приводят к пределам подобного рода. Поэтому естественно рассмотреть соответствующую абстрактную конструкцию .

Определение и свойства ОИ.

 

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на п произвольных частичных отрезков точками

а = х0 <x1 < x2 < ... <xn = b.

Эти точки называются точками разбиения. Обозначим длину отрезка [xi1, xi] разбиения символом Dхi , т.е. Dхi = xixi1, а наибольшую из этих длин обозначим lп ,т.е. lп = . На каждом из частичных отрезков [xi1, xi] возьмем произвольную точку xi и вычислим значение функции в этой точке f(xi). Составим сумму , которую называют интегральной суммой для функции f(х), соответствующей данному разбиению и данному выбору точек xi. Если при п ® ¥ lп ® 0, то соответствующую последовательность разбиений называют нормальной.

Определение 19.1. Если для всякой нормальной последовательности разбиений существует конечный предел интегральной суммы при lп ® 0, не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек xi, то это предел называют определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [a, b] и обозначают .

Здесь f(х) – подынтегральная функция, f(х)dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования, a, b – пределы интегрирования: a – нижний, b– верхний.

Таким образом, по определению . В этом случае функция f(х) называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Из определения следует, что определенный интеграл есть число. это число зависит только от вида функции f(х) и от чисел a и b, и не зависит от переменной интегрирования, т.е. = = =... .

Учитывая рассмотренные ранее задачи о массе и о площади криволинейной трапеции, можно дать следующую физическую и геометрическую интерпретацию понятию определенного интеграла:

с физической точки зрения интеграл численно равен массе прямолинейного тонкого неоднородного стержня длины l = ba, с переменной линейной плотностью r = f(x), f(x) ³ 0, где х – расстояние от точки стержня до его левого конца;

с геометрический точки зрения интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = f(x), f(x) ³ 0, прямыми х = а и х = b и отрезком [a, b] оси ОХ .

Мы назвали функцию интегрируемой на отрезке [a, b], если для нее существует определенный интеграл на этом отрезке. Рассмотрим условия интегрируемости функции.

Теорема 19.1.(необходимое условие интегрируемости)

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Заметим, что обратное утверждение не верно, например, функция Дирихле

ограничена на любом отрезке [a, b], но не интегрируема на нем, т.к. предел интегральной суммы зависит от выбора точек xi.

Теорема 19.2.(достаточные условия интегрируемости)

1) Если функция непрерывна на [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

2) Если функция ограничена на [a, b] и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва (кусочно-непрерывная функция), то она интегрируема на этом отрезке.

3) Монотонная ограниченная на [a, b] функция интегрируема на этом отрезке.

...





Читайте также:
Перечень актов освидетельствования скрытых работ и ответственных конструкций по видам работ: При освидетельствовании подготовительных работ оформляются следующие акты...
Романтизм как литературное направление: В России романтизм, как литературное направление, впервые появился ...
Особенности этнокультурного развития народов Пензенского края: Пензенский край – типичный российский регион, где проживает ...
Книжный и разговорный стили речи, их краткая характеристика: В русском языке существует пять основных...

Поиск по сайту

©2015-2022 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:


Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.07 с.