Взвешивания и переливания




Темы для подготовки участников физико – математического турнира (математика).

Логические задачи

В логических задачах, как правило, отсутствуют вычисления. Эти задачи могут быть решены перебором вариантов, но использование иллюстраций в виде таблиц, рисунков значительно ускорят процесс решения.

Пример. Вам надо переправить через реку волка, козу и капусту, но в лодке достаточно места только для вас и еще чего-нибудь одного. Волка с козой без присмотра оставлять нельзя, козу с капустой тоже. Как вам переправиться?

Решение:

Конечно, первой перевозим козу, затем возвращаемся за капустой, которую доставляем на другой берег, откуда забираем козу. Следующим ходом высаживаем козу на первом берегу, а с собой забираем волка, которого переправляем к капусте и возвращаемся за козой.

Задачи для самоконтроля

Задача1. В квадратном зале для танцев поставьте вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены их было поровну.

Задача2. На столе в один ряд стоят три полных и три пустых стакана. Можно ли, прикоснувшись лишь к одному стакану, сделать так, чтобы они строго чередовались: полный, пустой?

Числовые ребусы

Главная зацепка этой темы – внимательность. Суть их заключается в том, чтобы восстановить цифры, замененные буквами. Одинакомым цифрам соответствуют одинаковые буквы, разным – разные.

Пример. Определите числовые значения букв в примере:

ОДИН

+ ОДИН

МНОГО Ответ: 6823 + 6823 = 13646

Задачи для самоконтроля

Решите ребус: ДА + ДА + ДА = ЕДА

ДРАМА + ДРАМА = ТЕАТР

 

Разрезание и перекладывание

Пример.

Разделите земельные участки поровну между дачниками. Каждая клетка (пустая или с находящимся в ней дачником) представляет собой одну сотку земли. Разделять участки необходимо по границам клеток, причем внутри каждого полученного участка должен находиться дачник.

Задачи для самоконтроля

1. Разрежем на четыре части. Разрежьте каждую из фигур на четыре равные части (резать можно по сторонам и диагоналям клеток).

Взвешивания и переливания

Это разновидность логических задач, как и задачи на переливание, игры-стратегии и многое другое. Никаких специальных формул и теорем нет, решение задачи состоит в нахождении последовательности действий, алгоритма, по которому мы придем к желаемому результату, используя лишь чашечные весы (по ним мы можем узнать не вес предмета, а разницу в весе двух предметов, положив их на разные чаши, такие у богини правосудия Фемиды).

Пример. Из 9 монет одна фальшивая, но не известно, она легче или тяжелее остальных. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно монета фальшивая?

Решение: Разделим монеты на три кучки. Кладем на весы две кучки по 3 монеты. Если весы не в равновесии, то в третьей кучке все монеты настоящие. Кладем на весы третью кучку, а снимаем первую (более тяжелую). Если весы в равновесии, то фальшивая монета в первой кучке, и она тяжелее. Если весы не в равновесии, то фальшивая монета во второй кучке, и она легче. Определив кучку и легче фальшивая монета или тяжелее, за 1 взвешивание легко найдем нужную монету.

Задачи для самоконтроля

Задача 1. Из 75 одинаковых по виду колец одно кольцо по массе отличается от других. Как за два взвешивания определить, легче оно или тяжелее остальных?

Задача 2. Каким образом можно принести из реки ровно 6 л воды, если имеется только два ведра: одно емкостью 4 л, другое – 9 л?

 

5. Задачи с геометрическим содержанием

Пример. а) На сколько частей могут делить плоскость три различные прямые? Для каждого случая нарисуйте пример; б) тот же вопрос для 4 прямых.

Указание: удобно рассмотреть случаи, когда нет параллельных прямых и ни какие три не пересекаются в одной точке, случай пересечения трех прямых, случай, когда одна пара параллельных прямых и т.д.

Задача для самоконтроля

Имеем квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника (см. рис.). Сторона квадрата равна меньшему катету треугольника или половине большего катета. Как из этих пяти фигур получить квадрат?

 

Игры-стратегии

Математические игры отличаются от обычных тем, что в них можно заранее определить исход игры. В таких играх предполагается, что игроки не делают ошибок, то есть играют наилучшим образом. Для доказательства чьей-то победы или ничейного исхода используются следующие основные идеи:

Соответствие. Наличие удачного ответного хода (может обеспечиваться симметрией, разбиением на пары, дополнением до числа).

Решение с конца. Последовательно определяются позиции, выигрышные или проигрышные для начинающего.

Передача хода. Если мы можем воспользоваться стратегией противника, то наши дела не хуже, чем у него.

Пример 1. Двое кладут по очереди пятаки на круглый стол. Проигрывает тот, кто не сможет положить очередной пятак. Кто проигрывает?

Решение. Воспользовавшись симметрией, выиграет первый. Он может положить пятак в центр стола, после этого у него на любой ход второго игрока всегда есть симметричный ответ.

Пример 2. На столе лежат 40 камешков. Двое играющих берут поочередно со стола камешки, причем за один раз не более 10 камешков. Выигрывает тот, кто берет последний камешек. Как должен поступить начинающий игру, чтобы наверняка выиграть?

Решение. Основная идея состоит в том, чтобы определить, сколько камешков брать, чтобы не дать выиграть противнику. В нашем случае, чтобы наверняка выиграть, первый игрок сначала берет 7 камешков, затем при каждом своем ходе – число камешков, дополняющее до 11 то число камешков, которое взял перед этим его партнер (после первого хода осталось 33 камешка, убирая парой по 11 камешков, первый игрок всегда сможет сделать последний ход).

Задача для самоконтроля

В ящикележат 35 шариков. Двое играющих по очереди вынимают их из ящика, причем по условию игры каждый обязан вынуть в свой ход не менее одного и не более пяти шариков. Проигравшим считается тот, кто вынужден будет при очередном своем ходе вынуть из ящика последний шар. Может ли игрок, делающий ход первым, обеспечить себе выигрыш? Каким образом?



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-03 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: