Теорема 8 (формула Грина).

. (26)

В этой формуле

– плоская область, ограниченная конечным числом замкнутых, самонепересекающихся кусочно - гладких кривых,

– граница области

, проходимая в положительном направлении: так, чтобы область

при движении вдоль кривой оставалась (для правой системы координат) слева (для левой системы координат, наоборот, оставалась справа);

и их частные производные первого порядка непрерывны в замкнутой области

(рис. 15).

Рис. 15

Докажем часть формулы (26):

. (27)

1. Пусть область – криволинейная трапеция, ограниченная прямыми и и непрерывными кривыми и , (рис. 16). Тогда

Последнее выражение можно переписать в виде суммы двух криволинейных

Рис. 16

интегралов . Добавив сюда равные нулю

интегралы и , имеем:

, т.е. получаем формулу (27).

2. Чтобы получить формулу (27) для любой области, нужно разбить ее на криволинейные трапеции (мы будем рассматривать только области, для которых это возможно), к каждой из них применить (27) и сложить полученные равенства. В результате получим:

. (28)

Правая часть этого равенства, очевидно, равна .

При сложении интегралов в левых частях интегралы по вертикальным перегородкам равны нулю, а интегралы по другим перегородкам взаимно уничтожаются, так как эти перегородки проходятся дважды, причем в противоположных направлениях (рис. 17). В результате

и .

Рис. 17

Аналогично, рассматривая криволинейные трапеции «вдоль» оси получим,что . Следовательно, . ■

Пример. Вычислить , где – замкнутый контур, изображенный на рис. 18.

Рис. 18

Решение.

Обобщением формулы Грина на случай трех переменных является формула Стокса. Чтобы написать ее, дадим сначала следующее определение.

Определение 10. Ротором векторного поля называется вектор

(естественно, вектор и его координаты зависят от точки М, т.е. от eе координат ).

Запомнить это определение можно при помощи следующей символической формулы:

(раскладываем определитель по первой строке; получаемые при этом произведения рассматриваем как частные производные, например ).

Пример. Найти ротор того же поля, что выше:

Решение.

Теорема 9 (формула Стокса). Пусть в области задано векторное поле , где – непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Пусть – замкнутый контур, ограничивающий двустороннюю поверхность , . Тогда

. (29)

В этой формуле сторона поверхности и направление обхода контура связаны следующим образом: если смотреть со стороны нормали к нашей стороне поверхности в точках, близких к , то обход контура виден совершающимся против часовой стрелки (для правой системы координат, для левой системы координат – наоборот, по часовой стрелке). Или: наблюдатель, идущий по контуру так, что нормаль пронизывает его от ног до головы, должен видеть непосредственно прилегающую к нему часть поверхности слева от себя (для правой системы координат).

«Прочесть» формулу (29) можно следующим образом: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого поля через поверхность, ограниченную данным контуром. При этом направление обхода и сторона поверхности связаны по указанному выше правилу.

В соответствии с определениями циркуляции векторного поля, ротора этого поля и потока векторного поля через поверхность, формулу (29) можно переписать следующим образом:

. (30)

Для экономии места и времени доказательство этой формулы мы оставим за пределами данного текста.

Теперь мы можем провести доказательство достаточности условийтеоремы 5: если , то из формулы (30) следует, что для любого замкнутого контура с натянутой на него поверхностью , а, в соответствии с теоремой 2, последнее равенство является необходимым и достаточным условием независимости интеграла от формы пути интегрирования.

Инвариантное определение ротора векторного поля

Создается впечатление, что вектор зависит от выбора системы координат. Покажем, что это не так. Возьмем точку и любой единичный вектор , исходящий из точки . «Окружим» перпендикулярной к вектору плоской площадкой с границей (рис. 19):

Рис. 19

Применим формулу Стокса: . Следующее равенство запишем на основании теоремы о среднем в поверхностном интеграле, которая аналогична теореме о среднем в двойном интеграле: , где – скалярное произведение, – площадь нашей площадки а – некоторая ее точка. Отсюда . Теперь будем стягивать площадку в точку , тогда (частные производные функций непрерывны) существует предел левой части последнего равенства: . Но тогда существует и предел правой части нашего равенства, и

. (31)

Но из определения циркуляции видно, что правая часть этой формулы не зависит от выбора системы координат, значит, и левая часть этой формулы тоже не зависит от выбора системы координат. Формула (31) задает , т.е. ( – единичный вектор) проекцию на любое направление. Формулу (31) можно взять за инвариантное определение , т.е. – это вектор, проекция которого на произвольное направление, определяемое вектором , задается этой формулой.

Оператор Гамильтона. Операции второго порядка

Введем символический вектор – оператор Гамильтона: , где символ « » читается как «набла». Пользуясь этим символом, можно написать, что:

1. Вектор – это произведение вектора на число .

Действительно, при произведении вектора на число его координаты умножаются на это число: ; понимая эти произведения как частные

производные, имеем: .

2. Скаляр (число) – это скалярное произведение векторов и .

Действительно, считая скалярное произведение как сумму произведений координат векторов и понимая эти произведения как частные производные, имеем: .

3. Вектор - это векторное произведение векторов и .

Действительно, находя векторное произведение и рассуждая, как выше, имеем:

Операции второго порядка

Попробуем применить рассмотренные выше три операции первого порядка , переводящие, соответственно, скаляр в вектор, вектор в скаляр и вектор в вектор, друг к другу (там, где это возможно). Тогда мы получим пять операций второго порядка: , .

Рассмотрим некоторые из этих операций:

при выполнении условий теоремы о смешанных производных. Используя оператор Гамильтона, этот результат можно получить короче: как векторное произведение коллинеарных векторов и .

( – это так называемый оператор Лапласа).

3) при выполнении условий теоремы о смешанных производных. Или короче при помощи оператора Гамильтона: как скалярное произведение ортогональных векторов и .

Специальные векторные поля

Потенциальное поле

Определение 11. Векторное поле называется потенциальным, если существует скалярное поле , называемое потенциалом, такое, что .

Теорема 10. Пусть в области (Т) функции имеют непрерывные частные производные. Для того чтобы в этой области поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы .

Необходимость этого условия уже доказана (см. выше).

Достаточность. Пусть , т.е. , тогда по теоремам 5 и 3 выражение является дифференциалом некоторой функции : , откуда , т.е. . ■

Замечание. При доказательстве теоремы 3 была получена и формула для нахождения потенциала U:

U(x,y,z) . (32)

В этой формуле векторное поле задано в области (Т), фиксированная точка и точка , в которой ищется потенциал, принадлежат этой области, а интеграл берется по любому пути, принадлежащему (Т) и соединяющему эти две точки. В частности, удобен путь по ломаной, звенья которой параллельны координатным осям. К правой части формулы (32), естественно, можно прибавить произвольную постоянную.

Пример. . Проверить, что это поле потенциально и найти его потенциал.

Решение. Найдем ротор этого поля: поле потенциально и по формуле (32) его потенциал .

Вычислим этот интеграл по изображенной на рис. 20, ломаной как сумму интегралов по ее звеньям:

Рис. 20

, что и заканчивает решение примера.

Отметим, что в потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования и, в силу формулы (6),

= . (33)

Соленоидальное поле

Определение 12. Векторное поле называется соленоидальным, если существует другое векторное поле , называемое векторным потенциалом, такое, что .

Теорема 11. Пусть в области (Т) функции имеют непрерывные частные производные. Для того чтобы в этой области было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы .