Элементы математической статистики
Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых, однородных случайных явлений для выявления существующих закономерностей.
Математическая статистика используются в различных областях науки. К примеру, для экономики важно обрабатывать сведения об однородных совокупностях явлений и объектов. Ими могут являться изделия, выпускаемые промышленностью, персонал, данные о прибыли и т. д.
Наиболее ярко математическая статистика применима в психологии. Ее использование позволяет специалисту правильно обосновать планы эксперимента, найти зависимость между данными, обобщить их, избежать многих логических ошибок и многое другое.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина 
принимает значения 
с вероятностями 
соответственно. Тогда математическое ожидание 
данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:
или в свёрнутом виде:
Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:
очка
В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе.
Дисперсия дискретной случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение
Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
Там мы нашли математическое ожидание
M(x) = (-5*0,5)+(2,5*0,4)+(10*0,1)= -0,5
этой игры, и сейчас нам предстоит вычислить её дисперсию, которая обозначается через 
.
Выясним, насколько далеко «разбросаны» выигрыши/проигрыши относительно среднего значения. Очевидно, что для этого нужно вычислить разности между значениями случайной величины и её математическим ожиданием:
–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5
Решение удобнее оформить таблицей:
И здесь напрашивается вычислить средневзвешенное значение квадратов отклонений. А это ЧТО такое? Это их математическое ожидание, которое и является мерилом рассеяния:
– определение дисперсии. Из определения сразу понятно, что дисперсия не может быть отрицательной – возьмите на заметку для практики!
Вспоминаем, как находить матожидание. Перемножаем квадраты разностей на соответствующие вероятности (продолжение таблицы):
– образно говоря, это «сила тяги»,
и суммируем результаты:
Не кажется ли вам, что на фоне выигрышей 
результат получился великоватым? Всё верно – мы возводили в квадрат, и чтобы вернуться в размерность нашей игры, нужно извлечь квадратный корень. Данная величина называется средним квадратическим отклонением и обозначается греческой буквой «сигма»:
Иногда это значение называют стандартным отклонением.
В чём его смысл? Если мы отклонимся от математического ожидания 
влево и вправо на среднее квадратическое отклонение:
– то на этом интервале будут «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Что мы, собственно, и наблюдаем: 