Построим поле корреляции по исходным данным

БУ Лашманова М.С РГР-1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЗАПИСКА (РГР № 1)

Задание

1. Построить поле корреляции результата и фактора и сформулировать гипотезу о форме связи.

2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической и гиперболической парной регрессии.

3. Оценить тесноту связи с помощью показателя корреляции и коэффициента детерминации.

4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оценить с помощью критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

7. Выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.

8. Для лучшего уравнения регрессии рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличиться на 10% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

9. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Решение

Построим поле корреляции по исходным данным

№	Y	X
	10,0	40,0
	12,2	23,0
	12,4	53,0
	13,5	57,0
	15,4	53,0
	15,3	51,0
	10,5	29,0
	10,7	68,0
	14,6	65,0
	10,0	41,0
	12,5	28,0
	9,7	15,0
	13,2	46,0
	12,9	38,0
	11,0	19,0
	12,6	65,0
	15,0	40,0
	8,9	18,0
	12,0	19,0
	14,9	39,0
	9,1	10,0
	14,4	27,0
	10,9	39,0
	11,1	45,0
	11,4	26,0
	11,3	51,0
	15,0	41,0
	9,8	17,0
	15,2	46,0
	11,8	36,0
	14,4	56,0
	14,9	38,0
	12,7	32,0

Построив поле корреляции, можно выдвинуть гипотезу о том, что связь между фактором и результатом описывается линейной функцией.

2. Рассчитаем параметры уравнений:

а) линейной регрессии (y=a+bx)

· 0,06 9,96 0,48

· 0,23 0,24 12,26

· 31,49 0, 32 3,21

· 8,29 0,008

Все расчеты были произведены с помощью Excel:

№	Y	X	XY	X²	Y^	(Y-Y^)²	(Y-Yср)²	abs(Y-Y^)/Y	(X-Xср)2
	10,0	40,0	399,1995		12,42066	5,956888	5,893777	0,244557	2,204775
	12,2	23,0	281,3571		12,27224	0,001546	0,030548	0,003215
	12,4	53,0	655,0744		12,53416	0,030368	0,002285	0,014099
	13,5	57,0	767,1128		12,56908	0,790392	1,103386	0,06606
	15,4	53,0	814,0744		12,53416	7,984787	8,715465	0,183968
	15,3	51,0	780,7062		12,5167	7,791178	8,411549	0,182341
	10,5	29,0	305,8296		12,32463	3,164044	3,466478	0,168671
	10,7	68,0	727,3508		12,66512	3,876093	2,92876	0,184061
	14,6	65,0	951,3025		12,63892	3,98601	4,96276	0,136416
	10,0	41,0	410,5462		12,42939	5,83739	5,733032	0,241285
	12,5	28,0	349,9573		12,31589	0,033336	0,008241	0,014608
	9,7	15,0	144,838		12,2024	6,484818	7,572567	0,263729
	13,2	46,0	605,7586		12,47304	0,48389	0,579073	0,052824
	12,9	38,0	490,6082		12,4032	0,257598	0,253053	0,039312
	11,0	19,0	208,5249		12,23732	1,593471	2,052643	0,115019
	12,6	65,0	821,3025		12,63892	1,23E-05	0,051859	0,000277
	15,0	40,0	599,1995		12,42066	6,550151	6,616675	0,17085
	8,9	18,0	160,236		12,22859	11,06619	12,2899	0,37369
	12,0	19,0	227,5249		12,23732	0,068816	0,187233	0,021906
	14,9	39,0	582,8865		12,41193	6,420537	6,442006	0,169538
	9,1	10,0	91,0849		12,15875	9,304062	10,88477	0,334881
	14,4	27,0	390,1333		12,30716	4,589087	4,168467	0,148257
	10,9	39,0	426,8865		12,41193	2,149514	2,13712	0,133944
	11,1	45,0	501,2547		12,46431	1,756471	1,609608	0,11898
	11,4	26,0	296,3592		12,29843	0,810006	1,01862	0,078959
	11,3	51,0	576,7062		12,5167	1,461033	1,209412	0,106892
	15,0	41,0	615,5462		12,42939	6,676699	6,789281	0,172109
	9,8	17,0	167,0222		12,21986	5,736127	6,671163	0,243772
	15,2	46,0	697,7586		12,47304	7,266378	7,622947	0,17771
	11,8	36,0	426,159		12,38574	0,300291	0,324839	0,046292
	14,4	56,0	808,3166		12,56035	3,511411	4,106813	0,129822
	14,9	38,0	566,6082		12,4032	6,287764	6,265229	0,16817
	12,7	32,0	405,7198		12,35082	0,107536	0,073466	0,025864
сумма	409,5	1271,0	16252,9	56567,0	409,5	122,3	130,2	4,5	54969,2
ср.значен	12,4077	38,51515	492,5135	1714,152	12,4077	3,707088	3,94494	0,137336	1665,733

b	0,06	S_a	0,32
a	9,96	S_b	0,008
r_xy	0,48	S²	3,21
R²	0,23	F	9,53
Э	0,24	t_a	31,49
A	12,26	t_b	8,29

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,484889
R-квадрат	0,235117
Нормированный R-квадрат	0,210444
Стандартная ошибка	1,79223
Наблюдения

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		30,6083	30,6083	9,529098	0,004238
Остаток		99,57473	3,212088
Итого		130,183

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	9,965741	0,850364	11,71938	6,37E-13	8,231412	11,70007	8,231412	11,70007
Переменная X 1	0,063402	0,020539	3,086924	0,004238	0,021513	0,105292	0,021513	0,105292

УРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ:

Выводы: Уравнение регрессии: , показывает, что с увеличением инвестиций в основной капитал на душу населения на 1 рубль, среднемесячная заработная плата повысится в среднем на0,06 %. Линейный коэффициента парной корреляции 0,48 означает, что связь между фактором и результатом прямая, тесная. Вариация результата на 23% () объясняется вариацией фактора x. Средняя ошибка аппроксимации показывает, что расчетные значения отклоняются от фактических на 12,26%. Полученный коэффициент эластичности 0,24, показывает, что при увеличении на 1% инвестиций в основной капитал, заработная плата увеличится в среднем на 0,24 %. Для оценки статистической значимости уравнения сравним полученное фактическое значение (F=9,53) с табличным (), так как полученное значение больше, то уравнение статистически значимо, также статистически значимы и коэффициенты регрессии, так как по абсолютному значению (31,49 и 8,29) они превышают табличное значение Стюдента ().

б) степенной регрессии

Логарифмируем уравнение и получим уравнение линейной регрессии: . Заменяя значения фактора и результата на логарифмированные, рассчитаем параметры: 0,20 1,79, отсюда 5,98. Уравнение регрессии примет вид:

Рассчитаем параметры качества уравнения регрессии:

№	Y	X	(X-Xср)2	lnY	lnX	Y^	(Y-Yср)²	X²
	10,0	40,0	2,204775	2,300582	3,688879	12,57651	5,893777	34,73661
	12,2	23,0		2,50413	3,135494	11,24895	0,030548	0,000933
	12,4	53,0		2,514457	3,970292	13,31059	0,002285	5,22E-06
	13,5	57,0		2,599583	4,043051	13,50727	1,103386	1,21746
	15,4	53,0		2,73176	3,970292	13,31059	8,715465	75,95933
	15,3	51,0		2,728373	3,931826	13,20778	8,411549	70,75416
	10,5	29,0		2,355732	3,367296	11,78707	3,466478	12,01647
	10,7	68,0		2,369901	4,219508	13,99639	2,92876	8,577636
	14,6	65,0		2,683445	4,174387	13,86966	4,96276	24,62899
	10,0	41,0		2,303916	3,713572	12,63927	5,733032	32,86766
	12,5	28,0		2,525607	3,332205	11,70398	0,008241	6,79E-05
	9,7	15,0		2,267566	2,70805	10,32024	7,572567	57,34377
	13,2	46,0		2,57784	3,828641	12,93588	0,579073	0,335325
	12,9	38,0		2,55806	3,637586	12,44714	0,253053	0,064036
	11,0	19,0		2,395619	2,944439	10,82394	2,052643	4,213344
	12,6	65,0		2,536504	4,174387	13,86966	0,051859	0,002689
	15,0	40,0		2,706715	3,688879	12,57651	6,616675	43,78039
	8,9	18,0		2,186276	2,890372	10,70661	12,2899	151,0417
	12,0	19,0		2,482821	2,944439	10,82394	0,187233	0,035056
	14,9	39,0		2,704431	3,663562	12,51249	6,442006	41,49944
	9,1	10,0		2,209207	2,302585	9,510247	10,88477	118,4782
	14,4	27,0		2,670651	3,295837	11,61849	4,168467	17,37611
	10,9	39,0		2,392957	3,663562	12,51249	2,13712	4,567283
	11,1	45,0		2,410452	3,806662	12,8787	1,609608	2,590836
	11,4	26,0		2,433476	3,258097	11,53043	1,01862	1,037587
	11,3	51,0		2,425507	3,931826	13,20778	1,209412	1,462678
	15,0	41,0		2,708938	3,713572	12,63927	6,789281	46,09433
	9,8	17,0		2,284914	2,833213	10,58395	6,671163	44,50441
	15,2	46,0		2,719232	3,828641	12,93588	7,622947	58,10932
	11,8	36,0		2,471294	3,583519	12,31221	0,324839	0,105521
	14,4	56,0		2,669602	4,025352	13,45916	4,106813	16,86591
	14,9	38,0		2,702082	3,637586	12,44714	6,265229	39,25309
	12,7	32,0		2,539927	3,465736	12,02331	0,073466	0,005397
сумма	409,5	1271,0	54969,2	82,7	117,4	405,8	130,2	909,5
ср.значен	12,4077	38,51515	1665,733	2,505199	3,556768	12,29799	3,94494	27,56139

b	0,20	S_a	0,82
a	5,98	S_b	0,02
r_xy	0,54	S²	2,98
R²	0,3	F	12,65
Э	0,62	t_a	7,3
A	11,45	t_b	10,2

· 0,3 0,54

· 0,62

· 11,45

· 7,3 0,82 2,98

· 10,2 0,02

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,571522
R-квадрат	0,326637
Нормированный R-квадрат	0,304916
Стандартная ошибка	0,138055
Наблюдения

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		0,286605	0,286605	15,03761	0,000512
Остаток		0,590835	0,019059
Итого		0,87744

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	1,788195	0,186453	9,590591	8,61E-11	1,407922	2,168469	1,407922	2,168469
Переменная X 1	0,201588	0,051985	3,877835	0,000512	0,095565	0,307612	0,095565	0,307612

Рассчитаем индекс корреляции, F критерий и коэффициент детерминации:

Выводы: Уравнение регрессии: . Индекс корреляции 0,54 означает, что связь между фактором и результатом прямая, сильная. Вариация результата на 33% () объясняется вариацией фактора x. Средняя ошибка аппроксимации показывает, что расчетные значения отклоняются от фактических на 109,41 %. Полученный коэффициент эластичности 0,62. Для оценки статистической значимости уравнения сравним полученное фактическое значение (F=12,65) с табличным (), так как полученное значение больше, то уравнение в целом статистически значимо, также статистически значим коэффициент регрессии b, так как по абсолютному значению он превышает табличное значение Стюдента (), а коэффициент a – статистически незначим.

В) Экспоненциальная регрессия: .

Прологарифмируем обе части уравнения: ; . Отсюда , . Уравнение регрессии примет вид:

№	Y	X	lnY	Y^	abs(Y-Y^)/Y
	10,0	40,0	2,300582	1,00537206	0,899261
	12,2	23,0	2,50413	1,00537206	0,917814
	12,4	53,0	2,514457	1,00537206	0,918659
	13,5	57,0	2,599583	1,00537206	0,925296
	15,4	53,0	2,73176	1,00537206	0,934546
	15,3	51,0	2,728373	1,00537206	0,934324
	10,5	29,0	2,355732	1,00537206	0,904667
	10,7	68,0	2,369901	1,00537206	0,906008
	14,6	65,0	2,683445	1,00537206	0,931306
	10,0	41,0	2,303916	1,00537206	0,899597
	12,5	28,0	2,525607	1,00537206	0,91956
	9,7	15,0	2,267566	1,00537206	0,89588
	13,2	46,0	2,57784	1,00537206	0,923654
	12,9	38,0	2,55806	1,00537206	0,922129
	11,0	19,0	2,395619	1,00537206	0,908394
	12,6	65,0	2,536504	1,00537206	0,920432
	15,0	40,0	2,706715	1,00537206	0,932886
	8,9	18,0	2,186276	1,00537206	0,887062
	12,0	19,0	2,482821	1,00537206	0,916044
	14,9	39,0	2,704431	1,00537206	0,932732
	9,1	10,0	2,209207	1,00537206	0,889623
	14,4	27,0	2,670651	1,00537206	0,930421
	10,9	39,0	2,392957	1,00537206	0,90815
	11,1	45,0	2,410452	1,00537206	0,909743
	11,4	26,0	2,433476	1,00537206	0,911797
	11,3	51,0	2,425507	1,00537206	0,911092
	15,0	41,0	2,708938	1,00537206	0,933035
	9,8	17,0	2,284914	1,00537206	0,89767
	15,2	46,0	2,719232	1,00537206	0,93372
	11,8	36,0	2,471294	1,00537206	0,915071
	14,4	56,0	2,669602	1,00537206	0,930348
	14,9	38,0	2,702082	1,00537206	0,932574
	12,7	32,0	2,539927	1,00537206	0,920704
сумма	409,5	1271,0	82,7	33,2	30,3
ср.знач	12,4077	38,51515	2,505199	1,00537206	0,916794

b	0,005	F	10,28
a	2,30	t_a	33,23
r_xy	0,50	t_b	3,21
R²	0,25	А	91,68
Э	0,21

0,25 0,50 = 0,21

91,68

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,499093
R-квадрат	0,249094
Нормированный R-квадрат	0,224871
Стандартная ошибка	0,145788
Наблюдения

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		0,218565	0,218565	10,28345	0,00311
Остаток		0,658875	0,021254
Итого		0,87744

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	2,298847	0,069172	33,23366	8,3E-26	2,157769	2,439925	2,157769	2,439925
Переменная X 1	0,005358	0,001671	3,206781	0,00311	0,00195	0,008765	0,00195	0,008765

Коэффициент эластичности: =0,005*1271,0=0,21

Выводы: Уравнение регрессии: Индекс корреляции 0,50 означает, что связь между фактором и результатом прямая, сильная. Вариация результата на 25,% () объясняется вариацией фактора x. Средняя ошибка аппроксимации показывает, что расчетные значения отклоняются от фактических на 91,8 %. Полученный коэффициент эластичности 0,21. Для оценки статистической значимости уравнения сравним полученное фактическое значение (F=10,28) с табличным (), так как полученное значение больше, то уравнение в целом статистически значимо, также статистически значим коэффициент регрессии b, так как по абсолютному значению он превышает табличное значение Стюдента (), а коэффициент a – статистически незначим.

Г) полулогарифмическая регрессия:

№	Y	X	LnX	Y^	abs((Y-Y^)/Y)
	10,0	40,0	3,688879	12,72099	0,27465
	12,2	23,0	3,135494	11,40866	0,06738
	12,4	53,0	3,970292	13,38835	0,083209
	13,5	57,0	4,043051	13,5609	0,007637
	15,4	53,0	3,970292	13,38835	0,128356
	15,3	51,0	3,931826	13,29713	0,131359
	10,5	29,0	3,367296	11,95837	0,133941
	10,7	68,0	4,219508	13,97936	0,30693
	14,6	65,0	4,174387	13,87236	0,052138
	10,0	41,0	3,713572	12,77955	0,276255
	12,5	28,0	3,332205	11,87515	0,049872
	9,7	15,0	2,70805	10,395	0,076547
	13,2	46,0	3,828641	13,05243	0,008826
	12,9	38,0	3,637586	12,59935	0,024118
	11,0	19,0	2,944439	10,95558	0,001769
	12,6	65,0	4,174387	13,87236	0,097894
	15,0	40,0	3,688879	12,72099	0,150801
	8,9	18,0	2,890372	10,82736	0,216284
	12,0	19,0	2,944439	10,95558	0,085128
	14,9	39,0	3,663562	12,66095	0,152876
	9,1	10,0	2,302585	9,433452	0,035677
	14,4	27,0	3,295837	11,78891	0,184123
	10,9	39,0	3,663562	12,66095	0,156694
	11,1	45,0	3,806662	13,00031	0,167099
	11,4	26,0	3,258097	11,69941	0,026405
	11,3	51,0	3,931826	13,29713	0,175909
	15,0	41,0	3,713572	12,77955	0,148786
	9,8	17,0	2,833213	10,69182	0,088243
	15,2	46,0	3,828641	13,05243	0,139513
	11,8	36,0	3,583519	12,47114	0,053506
	14,4	56,0	4,025352	13,51893	0,063412
	14,9	38,0	3,637586	12,59935	0,155015
	12,7	32,0	3,465736	12,19182	0,038405
сумма	409,5	1271,0	117,4	409,5	3,8
ср.значение	12,4077	38,51515	3,556768	12,4077	0,113902

b	2,37	F	13,58
a	3,97	t_a	1,72
r_xy	0,55	t_b	3,68
R²	0,30	А	11,39
Э	2,28

0,30 0,55 2,28

11,39

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика
Множественный R	0,551969
R-квадрат	0,30467
Нормированный R-квадрат	0,28224
Стандартная ошибка	1,708803
Наблюдения

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		39,66284	39,66284	13,58314	0,000868
Остаток		90,52019	2,920006
Итого		130,183

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	3,972962	2,307859	1,721493	0,095128	-0,73395	8,679871	-0,73395	8,679871
Переменная X 1	2,371461	0,643452	3,685531	0,000868	1,059133	3,683789	1,059133	3,683789

Выводы: Уравнение регрессии: . Индекс корреляции 0,55 означает, что связь между фактором и результатом прямая, сильная. Вариация результа

Построим поле корреляции по исходным данным

Поиск по сайту