по дисциплине «Элементарная математика и практикум по решению задач»
для студентов заочной формы получения образования
физико-математического факультета
1. Множество натуральных чисел. Полная и неполная индукции. Метод математической индукции.
2. Арифметическая прогрессия. Формулы п -го члена арифметической прогрессии и суммы. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
3. Геометрическая прогрессия. Формулы п -го члена геометрической прогрессии и суммы. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
4. Множество целых чисел. Модуль числа, операции над целыми числами. Теоремы о делимости. Признаки делимости.
5. Множество действительных чисел. Степень с действительным показателем и ее свойства.
6. Корень n -ой степени из числа. Арифметический квадратный корень и его свойства.
7. Понятие выражения с переменными. Область определения и множество значений выражения. Одночлены, многочлены и действия над ними. Формулы сокращенного умножения.
8. Делимость многочленов. Теорема Безу и следствия из нее.
9. Алгебраические дроби и действия над ними. Тождественные преобразования дробно-рациональных выражений. Метод неопределенных коэффициентов.
10. Иррациональные выражения и действия над ними. Тождественные преобразования иррациональных выражений. Формулы сложного радикала.
11. Понятие числового неравенства. Основные свойства числовых неравенств и методы их доказательства.
12. Понятие уравнения. Корни уравнения. Теоремы о равносильных уравнениях. Уравнения-следствия. Методы решения рациональных уравнений.
13. Определение неравенства с одной переменной. Теоремы о равносильных неравенствах. Решение рациональных неравенств. Метод интервалов.
14. Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля: типы и методы решения.
15. Иррациональные уравнения и неравенства: типы и методы решения.
16. Определения системы и совокупности уравнений и неравенств, их решений. Теоремы о равносильности систем. Методы решения систем уравнений.
17. Различные типологии текстовых задач, методы и приемы решения задач на проценты, на движение, на работу, на концентрацию вещества в смесях и сплавах.
18. Определение и основные свойства логарифма. Тождественные преобразования логарифмических выражений.
19. Показательные уравнения и неравенства, методы их решения.
20. Логарифмические уравнения и неравенства, методы их решения.
21. Основные тригонометрические функции, их свойства и графики.
22. Основные обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
23. Основные тождества и соотношения, связанные с тригонометрическими функциями.
24. Основные тождества и соотношения, связанные с обратными тригонометрическими функциями.
25. Формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Методы решения тригонометрических уравнений.
26. Решение простейших тригонометрических неравенств и неравенств, сводящихся к простейшим. Метод интервалов.
27. График функции. Геометрические преобразования графиков функций. Построение графиков сложных функций.
28. Использование свойств функций при решении уравнений, неравенств и их систем.
29. Понятие задачи с параметром. Решение линейных уравнений их систем с параметром. Решение линейных неравенств с параметром.
30. Понятие задачи с параметром. Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Квадратный трехчлен в задачах с параметром.
31. Признаки равенства и подобия треугольников и их применение к решению задач.
32. Пропорциональное деление отрезков в треугольнике. Теоремы Чевы и Менелая.
33. Свойства хорд, секущих и касательных окружности. Измерение углов, связанных с окружностью.
34. Теоремы о центроиде (центре масс) и ортоцентре треугольника.
35. Описанная около треугольника окружность. Формулы для вычисления ее радиуса.
36. Вписанная в треугольник окружность. Формулы для вычисления ее радиуса для случаев произвольного и прямоугольного треугольников. Вневписанные окружности треугольника.
37. Окружность и прямая Эйлера.
38. Понятие многоугольника. Классификация четырехугольников. Свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата.
39. Определение площади плоской геометрической фигуры. Формулы для вычисления площадей треугольника, параллелограмма, трапеции. Метод площадей.
40. Вписанные многоугольники. Теоремы о вписанном в окружность четырехугольнике.
41. Описанные многоугольники. Теоремы о четырехугольнике, в который можно вписать окружность.
42. Правильные многоугольники. Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника.
43. Общая схема решения задач на построение. Основные задачи на построение циркулем и линейкой. Методы решения задач на построение на плоскости.
44. Геометрические преобразования и их использование для решения задач на построение (методы параллельного переноса, симметрии, поворота, подобия, гомотетии)
45. Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур, многогранников и тел вращения.
46. Методы построения сечений многогранников плоскостью.
47. Взаимное расположение прямых в пространстве. Признаки параллельных и скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми.
48. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признаки параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
49. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Признаки параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями.
50. Многогранные углы. Свойства плоских углов многогранного угла.
51. Понятие расстояния в пространстве. Расстояние между точкой и плоскостью, двумя плоскостями, двумя прямыми. Основные способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.
52. Выпуклые многогранники. Призма. Классификация призм и их свойства. Площадь поверхности и объем призмы.
53. Пирамида. Классификация пирамид, свойства правильной пирамиды и пирамид, у которых боковые ребра (грани) образуют равные углы с плоскостью основания. Площадь поверхности и объем пирамиды.
54. Цилиндр, конус, усеченный конус. Площади поверхностей и объемы этих тел вращения.
55. Шар и сфера. Части сферы и шара. Площади поверхностей и объемы шара и его частей.
56. Комбинации шара и тел вращения.
57. Шар, вписанный в призму, пирамиду.
58. Шар, описанный около призмы, пирамиды.
59. Векторный и координатный методы вычисления углов и расстояний между геометрическими фигурами.
60. Понятие задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений геометрической величины. Методы решения геометрических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин.
Заведующий кафедрой математики
и методики преподавания математики И.Н. Гуло