ШАБЛОН
1. Скалярные и векторные величины. Определение геометрического вектора. Нулевой вектор, противоположный вектор, определение коллинеарных и компланарных векторов; равенство векторов. Свободные векторы. Единичный вектор (орт). Определение линейных операций над геометрическими векторами, их свойства. Правила вычитания векторов, правило многоугольника нахождения суммы нескольких векторов. Длина вектора, её свойства.
2. Определение линейной зависимости геометрических векторов. Критерий линейной зависимости: (а) двух и (б) трех геометрических векторов, линейная зависимость любых четырех геометрических векторов.
3. Базис на плоскости и в пространстве. Ортонормированный канонический базис
i, j, k. Доказать единственность разложения вектора по базису. Определение координат вектора в данном базисе. Доказать теорему о линейных операциях над векторами в координатной форме.
4. Определение ортогональной проекции геометрического вектора на ось (направление), её свойства, формула для её вычисления. Определение скалярного произведения геометрических векторов, его механический смысл. Доказать свойства скалярного произведения. Признак перпендикулярности (ортогональности) двух векторов. Вывести формулы для нахождения скалярного произведения, длины вектора, косинуса угла между векторами и проекции вектора на направление в базисе i, j, k. Доказать теорему о связи координат вектора в этом базисе с его ортогональными проекциями на соответствующие направления. Определение направляющих углов (косинусов) вектора или луча. Доказать теорему о них.
5. Правые и левые тройки геометрических векторов. Определение векторного произведения двух геометрических векторов, его геометрический смысл. Доказать свойства векторного произведения (дистрибутивность без док-ва). Критерий коллинеарности двух векторов. Вывести формулу для вычисления векторного произведения в базисе i, j, k. Физические приложения векторного произведения.
6. Определение смешанного произведения трех геометрических векторов, его геометрический смысл. Доказать свойства смешанного произведения. Вывести формулу для нахождения смешанного произведения в базисе i, j, k. Вывод формулы объема треугольной пирамиды (тетраэдра). Условие компланарности трех векторов. Проверка ориентации тройки векторов.
9. Определение: декартовой системы координат в пространстве, координаты точки. Радиус-вектор точки. Связь координат вектора и его концов (вывод). Прямоугольная система координат, вывести формулу расстояния между двумя точками и формулу для координат точки, делящий отрезок в данном отношении a: b.
10. Геометрический смысл уравнения 
на плоскости, в пространстве. Геометрический смысл уравнения 
и системы двух таких уравнений в пространстве. Поверхность, заданная уравнением 
.
11. Прямая на плоскости, ее направляющий и нормальный векторы. Различные виды уравнения прямой на плоскости: прямая с угловым коэффициентом; общее уравнение прямой, каноническое и параметрические уравнения,уравнение вотрезках. Вывод этих уравнений, геометрический смысл их коэффициентов. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вывод формулы для расстояния от точки до прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Нахождение угла между прямыми. Условия совпадения, параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.
12. Плоскость в пространстве, ее нормальный вектор. Вывод уравнения плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Вывод общего уравнения плоскости (в векторной и координатной форме) и уравнения плоскости в отрезках, геометрический смысл коэффициентов этих уравнений. Вывод уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Уравнение плоскости в отрезках. Вывод формулы для нахождения расстояния от точки до плоскости.
13. Прямая в пространстве и ее направляющий вектор. Общие уравнения прямой (в виде системы двух уравнений). Вывод параметрических (в векторной и координатной форме) и канонических уравнений прямой. Геометрический смысл коэффициентов этих уравнений. Нахождение канонических уравнений прямой, заданной общими уравнениями. Вывод уравнений прямой проходящей через две заданные точки. Определение и вывод уравнения пучка плоскостей. Вывод формулы для расстояния от точки до прямой в пространстве
14. Исследование взаимного расположения в пространстве: (а) двух плоскостей:
(б) прямой и плоскости; (в) двух прямых. Нахождение угла между: (а) двумя плоскостями;
(б) двумя прямыми; (в) прямой и плоскостью. Нахождение точки пересечения: (а) прямой и плоскости; (б) двух пересекающихся прямых. Нахождение расстояния между параллельными плоскостями. Нахождение расстояния между двумя параллельными или скрещивающимися прямыми.
Модуль 2. Кривые и поверхности второго порядка,
матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
15. Кривые второго порядка. Определение, эллипса, гиперболы и параболы, выводы их канонических уравнений. Определение эксцентриситета этих кривых, его смысл. Вывод уравнений асимптот гиперболы. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенным центром, параболы со смещенной вершиной, координаты фокусов этих кривых. Исследование уравнения 
на плоскости. Параметрические уравнения эллипса и гиперболы. Свойство касательных эллипса, параболы и гиперболы и их оптическая интерпретация. Косые сечения цилиндра и конуса.
16. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности, поверхности вращения и их уравнения. Эллипсоид. Гиперболоиды, конус. Параболоиды. Их канонические уравнения. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений. Вырожденные линии и поверхности второго порядка. Нахождение уравнения проекции линии пересечения двух поверхностей.
17. Определениематрицы и еёразмера. Определениенулевойматрицы.Видыквадратных матриц: симметричные, кососимметричные, верхние треугольные и нижние треугольные, диагональные, скалярные, единичная матрица. Равенство матриц. Определение линейных операций над матрицами (не путать с элементарными преобразованиями). Операция транспонированияматрицы. Свойства вышеуказанных операций. Определение произведения двух матриц, свойства операции умножения матриц. Экономическая интерпретация произведения двух матриц (для ИБМ).
18. Определение элементарных преобразований строк и столбцов матрицы. Определение отношения эквивалентности двух матриц, доказать его свойства (симметричность, транзитивность и рефлексивность).
19. Аксиомы линейного пространства. Следствия из аксиом. Примеры линейных пространств: пространства геометрических векторов; арифметическое пространство R n и арифметические векторы. Определение линейной комбинации векторов произвольного линейного пространства, линейной зависимости и независимости векторов. Доказать общий критерий линейной зависимости векторов и его следствия. Критерий линейной зависимости двух векторов произвольного линейного пространства. Критерий линейной зависимости m арифметических векторов пространства R n. Определение ранга системы векторов произвольного линейного пространства.
20. Определение базиса и размерности линейного пространства. Доказать единственность разложения вектора по базису. Сформулировать теоремы о базисе и размерности. Размерность и базис конкретных линейных пространств: пространства геометрических векторов; арифметического пространства R n. Определение подпространства линейного пространства. Примеры. Определение линейной оболочки системы векторов, ее основное свойство (что она есть подпространство, размерность которого равна рангу этой системы векторов). Примеры.
21. Определение ступенчатой матрицы. Теорема (и алгоритм) Гаусса о приведении произвольной матрицы к ступенчатому виду.
22. Вычисление определителя первого, второго и третьего порядка. Свойства определителя любого порядка. Изменение определителя при элементарных преобразованиях. Вычисление определителя любого порядка (а) разложением по строке или по столбцу; (б) с помощью элементарных преобразований. Свойства определителя произведения двух квадратных матриц.
23. Определение присоединённой матрицы, доказать её свойство. Определение вырожденной и невырожденной квадратной матрицы. Алгоритм приведения невырожденной квадратной матрицы к единичной. Определение обратной матрицы, доказать её единственность. Доказать критерий существования обратной матрицы, и вывести метод её нахождения с помощью алгебраических дополнений. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
24. Доказать теоремы о: (а) матрице, обратной произведению двух невырожденных матриц;
(б) транспонировании обратной матрицы. Решение матричных уравнений вида 
, 
и 
с помощью обратной матрицы (вывод).
25. Определение минора прямоугольной матрицы, определение ранга матрицы. Определение базисного минора матрицы, окаймляющего минора матрицы. Теорема об окаймляющих минорах (о базисном миноре) и её следствия. Доказать критерий вырожденности квадратной матрицы (в терминах её ранга). Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы.
26. Инвариантность (неизменность) линейной зависимости (независимости) столбцов матрицы относительно элементарных преобразований её строк (и наоборот). Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований и транспонирования. Ранг ступенчатой матрицы (вывод). Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Теорема о ранге системы арифметических векторов.
27. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), координатная, матричная и векторная записи. Определение совместной СЛАУ, её матрицы, расширенной матрицы. Доказать критерий Кронекера–Капелли совместности СЛАУ. Определение частного и общего решения СЛАУ.
28. Инвариантность множества решений СЛАУ относительно элементарных преобразований строк её расширенной матрицы. Алгоритм Гаусса исследования и решения СЛАУ. Выбор базисных и свободных переменных, их количество. Доказать критерий существование единственного решения совместной СЛАУ. Векторная запись общего решения. Обосновать матричный метод (т.е. с помощью обратной матрицы) решения «квадратной» СЛАУ (у которой число уравнений равно числу неизвестных). Вывести формулы Крамерарешенияквадратной СЛАУ, условия их применимости.
29. Определение однородной и неоднородной СЛАУ. Однородная СЛАУ: вопрос о её совместности, доказать критерий существования ненулевого решения и следствие для «квадратных» однородных СЛАУ. Доказать свойство частных решений однородной СЛАУ. Пространство решений однородной СЛАУ как подпространство пространства R n, где п – число неизвестных. Теорема о размерности пространства решений. Определение фундаментальной системы решений однородной СЛАУ, структура общего решения однородной СЛАУ.
30. Доказать свойства частных решений неоднородной СЛАУ. Доказать теорему о структуре общего решения неоднородной СЛАУ. Интерпретация столбцов (арифметических векторов) D и F 1, …, Fk в векторной записи общего решения неоднородной СЛАУ: 
.