Основные понятия теории вероятностей

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гмурман В.Е Теория вероятностей и математическая статистика/Е.В.Гмурман.- М., Высшая школа, 2003.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике/ В.Е.Гмурман.- М., Высшая школа, 2003.

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/ Ч. 2 П.Е.Данко,А.Г. Попов.,Т.Я. Кожевникова.

М. “Оникс 21 век”, “Мир и образование” 2003.

4. Ермаков В.И. Справочник по математике для экономистов: Учеб. Пособие / В.И.Ермаков, В.Е.Барбаумов, Н.Н.Кривенцова и др.- М.: Инфра – М, 2007.

5. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование / Ю.Н.Кузнецов – М.: Высшая школа, 2003-2006.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей/Б.В.Гнеденко.- М., Высшая школа, 2000.

2. ВентцельЕ.С Теория вероятностей/Е.С.Вентцель-М.Высшая школа. 2001.

3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций, под редакцией А.А.Свешникова, М., Наука 2000.

4. Красс М.С. Математика для экономического бакалавриата. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Дело, 2005.

5. Федосеев В.В Экономико- математические методы и модели / В.В.Федосеев, Н.Н. Гармаш и др. – М.: Юнити, 2002.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ.

Теория вероятностей является одним из основных методов исследования в экономике, естествознании, технике и других науках. Она развилась из потребностей практики, и её аксиомы и теоремы в абстрактной форме отражают закономерности, присущие случайным событиям массового характера, т.е. событиям, которые могут произойти, но могут и не произойти по причинам, не поддающимся непосредственному учету в данных условиях. Изучение количественных закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, и составляет предмет теории вероятностей.

Вопросы организации и планирования производства также связаны с необходимостью учета случайных событий и, следовательно, не могут быть решены без применения теории вероятностей.

 

 

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫКОМБИНАТОРИКИ

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

1.1. Соединениями называют различные группы, составленные из каких – либо объектов.

Элементами называют объекты, из которых составлены соединения.

Различают следующие три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.

1.2. Перестановками из n элементов называют соединения, каждое из которых содержит n элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов.

Число всех перестановок из n элементов обозначается символом Р_n

Число всех перестановок из n элементов равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. Р_n = 1·2∙3∙…∙ (n-1)n.

Произведение n натуральных чисел от 1 до n принято сокращенно обозначать n!, т.е. 1·2∙3∙…∙ (n-1)n = n! (читается “эн - факториал”)

Тогда формулу для числа перестановок запишем в виде: Р_n = n!.

Например, Р₅ = 1·2∙3∙4∙5 = 120.

Пользуясь понятием фокториала формулу для числа размещений можно записать так:

А^m_n= ^n!_(n-m)!

1.3. Размещениями из n элементов по m, (m ≤ n) называются такие соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m обозначается символом А^m_n

Число всевозможных размещений из n элементов по m равно произведению m последовательных чисел натурального ряда, наибольшим из которых является n, т.е.

А^m_n = n (n –1) (n –2) … (n –(m - 1).

Например, вычислить А³_5. Имеем: n=5, m=3.

И A³₅ = 5(5-1)(5-(3-1))= 5^. 4 ^. 3 = 60

1.4 Сочетаниями из n элементов по m (m ≤ n) называют соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются только элементами (хотя бы одним).

Число различных сочетаний из n элементов по m обозначается символом C^m_n

Число всевозможных сочетаний из n элементов по m равно частному от деления произведения последовательных чисел натурального ряда, наибольшее из которых равно n, на произведение последовательных натуральных чисел от 1 до m включительно, т.е.

С^m_{n =} _ n(n – 1)(n – 2) … (n – (m – 1))__

1 ∙ 2 ∙ 3…m.

Формулу для числа сочетаний из n элементов по k можно представить через число размещений и перестановок:

C^m_{n = ­­} _ n! _

m!(n-m)!

 

Например: С^m_n = С³_{5 =} _5∙4^. 3_ _{= 10.}

1·2^. 3

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.1. Опыт (испытание, эксперимент) – это наблюдение какого-нибудь явления при выполнении некоторого комплекса условий.

2.2. Событие – результат (исход) опыта.

События обозначают: А, В, С.

Например: выстрел, произведенный из орудия по цели – испытание. Попадание в цель или промах – событие.

2.3. Возможные исключающие друг друга исходы (события) опыта называются его элементарными исходами (событиями). Множество всех элементарных событий, связанных с данным опытом, называется пространством элементарных событий. Каждое событие есть множество элементарных событий.

2.4. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного опыта.

Например: Загорание лампочки при отсутствии тока в электрической цепи.

2.5. Событие называется достоверным, если оно в результате опыта обязательно произойдет.

Например, смена дня и ночи.

2.6. Случайным называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Например, выигрыш в лотерее.

2.7. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Например, промах и попадание в цель при одном выстреле.

2.8. Два события называются совместными, если в результате опыта они могут появится одновременно.

Например, промах и попадание при двух выстрелах.

2.9. Если среди группы событий А_1, А_2… А_n если хотя бы два совместных, то все эти события называются совместными.

2.10. Группа событий называется полной, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

Например: Передается два сигнала.

Событие А₁ – принят один сигнал.

Событие А₂ – принято два сигнала.

Событие А₃ – сигналы не приняты, т.е. принято ноль сигналов.

События А_1, А_2, А₃ – образуют полную группу событий.

2.11. Два несовместных события, образующих полную группу,называются противоположными. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать через А.

Например, попадание и промах при одном выстреле.

2.12. События называются равновозможными, если одинакова возможность появления их в результате опыта.

Например, появление герба или цифры при бросании монеты.

2.13. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Вероятность события А обозначают через Р(А). Пусть m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания, тогда вероятность события А определяется формулой:

 

_{Р(А) =} _m_

n.

2.14. Из определения вероятности вытекают следующие свойства:

Ø вероятность достоверного события равна единице;

Ø вероятность невозможного события равна нулю;

Ø вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей, т.е. вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

2.15. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой:

W(A)=m/n,

где m – число появлений события, n – общее число испытаний.

Проиллюстрируем вышеизложенное решением задач.

 

Задача 1. В урне 5 черных и 3 белых шара. Найти вероятность того, что вынут белый шар.

 

Решение. Пусть событие А – извлечение из урны белого шара.

Всех возможных исходов (случаев) опыта: n = 5 + 3 = 8.

Случаев, благоприятствующих выборке одного белого шара: m = 3.

Следовательно, _{Р(А) =} _m_ ₌ _3_ _.

n 8

Ответ: Вероятность того, что из урны вынут белый шар равна 3/8.

 

Задача 2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобрали 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 6 отличников.

Кратко запишем условие

 

 

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать 9 студентов из 12, т.е. числу сочетаний из 12 элементов по 9 элементов: С⁹₁₂ Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди 9 студентов 6 отличников). Надо выбрать 6 студентов отличников из 8 отличников С⁶₈ способами. При этом остальные 9 – 6 = 3 студента не отличники. Выбрать трех студентов неотличников из 12 – 8 = 4 можно С³₄ способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно С⁶₈ ∙ С³_4. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

_{Р(А) =} С⁶₈ ∙ С³_{4 =} 8!∙4!∙9!∙(12 - 9)! ₌ 56 ₌ 28

С⁹₁₂ 6!∙3!∙(4 - 3)!∙12!110 55.

Ответ: Вероятность того, что среди отобранных 9 студентов 6 отличников равна 28/55.

Задача 3. На каждой из пяти карточек напечатана одна из следующих букв; о, н, р, т, с. Карточки тщательно перемешиваются и из них извлекаются по очереди четыре карточки. Найти вероятность того, что карточки в порядке выхода составят слово «трос».

Ответ: искомая вероятность.

 

Задача 4. Монета бросается 20 раз. “Герб” выпал 18 раз. Какова относительная частота выпадания “герба”?

 

Решение. Относительная частота выпадения “орла” равна:

_{W =} _m_, где m = 18; n = 20.

n

Тогда, W = 18/20 = 0,9.

Ответ: Относительная частота выпадания “орла” равна 0,9.

 

3. ТЕОРЕМЫСЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

3.1. Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий,т.е. событие С состоит в появлении хотя бы одного из событий А и В.

3.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий,безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А+В)=Р (А)+Р (В).

 

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А₁ + А₂ +…+А_n)= Р (А₁)+Р (А₂)+…+Р(А_n).

3.3. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ ,…, А_n , образующих полную группу, равна единице:
Р (А₁) + Р (А₂) + … + Р(А_n) = 1.

 

3.4. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р(А) = 1.

3.5. Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении этих событий.

3.6. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

3.7. Условной вероятностью Р_А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

3.8. Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р (АВ) = Р(А)·Р (В/А) или Р (АВ) = Р(А)· Р_А (В).

В частности, для независимых событий

Р (АВ) = Р (А)·Р (В),

т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению этих событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предположении, что все предыдущие события уже наступили:

Р (А₁ А₂ А₃ … А_n) = Р (А₁) · Р_А1 (А₂) · Р_А1А2 (А₃) … Р _А1А2 …_{А n-1} (А_n),

где Р _А1А2 …_{А n-1} (А_n ) – вероятность события А_n , вычисленная впредположении, что события А_1, А_2, …, А_n-1 наступили.

В частности, вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р (А₁ А₂ … А_n) = Р (А₁) · Р (А₂) … Р (А_n).

3.9. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А+В) = Р (А) + Р(В) - Р(АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий

Р (А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС).

 

Задача 5. В урне содержатся 30 шаров: 5 синих, 15 белых и 10 красных. Найти вероятность извлечения цветного шара.

 

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего.

Вероятность появления синего (событие А): Р(А) = 5/30 = 1/6;

Вероятность появления красного шара (событие В): Р(В) = 10/30 =1/3.

Событие А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому искомая вероятность Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 1/6 + 1/3 = 1/2.

Ответ: Вероятность извлечения цветного шара равна 1/2.

 

Задача 6. В первом ящике 2 детали нестандартные и 10 стандартных. Во втором ящике 8 нестандартных и 4 стандартных. Из каждого ящика вынули по детали. Какова вероятность, что обе детали не стандартные?

 

Решение. Пусть событие А – появление нестандартной детали из первого ящика.

Событие В – появление нестандартной детали со второго ящика. События А и В – независимые.

Имеем: _{Р(А) =} 2 ₌ 1; _{Р(В) =} 8 ₌ 2

12 6 12 3.

Для независимых событий вероятность их совмещения равна произведению их вероятностей:

_{Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) =} 1 _∙ 2 ₌ 1_

6 3 9.

Ответ: Искомая вероятность равна 1/9.

 

 

Задача 7. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,6, для второго и третьего стрелков эти вероятности со ответ ственно равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что: 1) только один из стрелков поразит цель; 2) только два стрелка поразят цель; 3) все три стрелка поразят цель.

 

 

Решение. События А_1, А_2, А₃ - попадания соственно 1,

2 и 3 стрелков.Тогда Р(А₁) = 0,6; Р(А₂) = 0,7; Р(А₃) = 0,8.

События А_1, А_2, А₃ - промахи со ответ ственно 1, 2 и 3 стрелков.

Р(А₁) = 1-0,6=0,4; Р(А₂) = 1-0,7=0,3; Р(А₃) = 1-0,8=0,2.

 

 

1) Событие А - только один из стрелков поразит цель - есть сумма несовместных событий: А₁А₂ А₃ , А₁ А₂А₃ и А₁А₂А₃,

т.е А = А₁А₂ А₃ + А₁А₂ А₃ + А₁А₂ А_3.

 

Применив теоремы сложения и умножения, получим:

 

Р(А) = Р(А₁А₂ А₃ ) + Р(А₁А₂ А₃ ) + Р(А₁А₂ А₃ ) =

= Р(А₁) · Р(А₂) · Р(А₃) + Р(А₁) ·Р(А₂) · Р(А₃) + Р(А₁) · Р(А₂) · Р(А₃)=

= 0,6 ∙ 0,3 ∙ 0,2 + 0,4 ∙ 0,7 ∙ 0,2 + 0,8 ∙ 0,4 ∙ 0,3 = 0,178.

 

2) Событие В – только два стрелка поразят цель.

Р(В) = Р(А₁) · Р(А₂) · Р(А₃) + Р(А₁) · Р(А₂) · Р(А₃) + Р(А₁) · Р(А₂) · Р(А₃) = 0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,2 + 0,4∙0,7∙0,8 + 0,6∙0,3∙0,8 = 0,452.

 

3) Событие С – все три стрелка поразят цель.

Р(С) = Р(А₁) · Р(А₂) · Р(А₃) = 0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,8 = 0,336.

 

Ответ: Вероятность поражения цели одним стрелком равна 0,178; двумя стрелами – 0,452; тремя - 0,336.

 

Задача 8. Студент знает 30 из 60 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиxся в его экзаменационном билете.

 

Решение. Введем обозначение событий:

А – студент знает первый вопрос в билете,

В – студент знает второй вопрос в билете.

Вероятность того, что студент знает первый вопрос в билете

Р (А) ₌ 30 ₌ 1

60 2.

Вероятность того, что студент знает второй вопрос, при условии, что он ответ ил на первый

Р(В/А) ₌ 30-1 ₌ 29

60-1 59.

Искомая вероятность того, что студент знает 2 вопроса в его экзаменационном билете, равна:

Р(АВ) = Р(А) · Р(В/А) ₌ 1 _· 29 ₌ 29

2 59 118.

Ответ: Вероятность того, что студент знает 2 вопроса в его экзаменационном билете, равна 29

118.