Интеграл свертки. Произвольный сигнал на входе системы с использованием выражений разложения сигнала по единичным импульсам Дирака может быть представлен в виде последовательной линейной комбинации взвешенных единичных импульсов:
y(t) = T[s(t)] = T[ 
s(t) d(t-t) dt]. (3.3.1)
На основании принципа суперпозиции линейный оператор Т может быть внесен под знак интеграла, т.к. последний представляет собой предельное значение суммы. При этом операция преобразования действует только по переменной t. Отсюда следует:
y(t) = s(t) Т[d(t-t)] dt = s(t) h(t-t) dt. (3.3.2)
Этот вариант динамического представления сигнала и является интегралом свертки (конволюции) входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Заменой переменных t-t = t можно убедиться в том, что свертка коммутативна:
s(t) h(t-t) dt º h(t) s(t-t) dt. (3.3.2')
Функция h(t) называется ядром свертки (kernel) или импульсной характеристикой линейной системы.
Смысл интеграла свертки состоит в том, что входной сигнал представляется сомкнутой последовательностью следующих друг за другом коротких импульсов, площади которых равны значению сигнала в моменты их следования при длительности импульсов, стремящейся к нулевой. Такая последовательность импульсов условно может рассматриваться в виде последовательности дельта-функций с площадями, равными площадям соответствующих импульсов. Реакция системы (3.3.2) находится как сумма реакций на каждый импульс, составляющий входное воздействие.
Для вычисления аналоговой свертки по выражению (3.3.2') функция импульсного отклика реверсируется по своей координате, т.е. строится в режиме обратного времени, и движется относительно функции входного сигнала в сторону возрастания значений t. В каждый текущий момент времени значения обеих функций перемножаются, а произведение интегрируется в пределах окна импульсного отклика. Полученный результат относится к той координатной точке, против которой находится значение импульсного отклика h(0).
Рис. 5
|
На рис. 5 приведен пример выполнения свертки прямоугольного импульса с импульсным откликом RC-цепи, площадь которого нормирована к 1. Если площадь импульсного отклика h(t) равна 1, то площадь выходного сигнала свертки всегда должна быть равна площади входного сигнала, что можно видеть на верхнем графике рисунка, при этом одномасштабное сравнение входного и выходного сигналов наглядно демонстрирует характер преобразования сигнала в данной системе. На последующих графиках рисунка демонстрируется вычисление результатов свертки в ряде последовательных точек ti = {3.5, 4, 5, 6, 7} временной оси. В силу отрицательного знака t в аргументах функции s(t-t) интегрирование произведения h(t)s(t-t) выполняется назад по времени и может ограничиваться только определенной длиной значимых значений импульсного отклика (которая в данном случае установлена равной r = 4), а результат относится к начальной точке h(0) импульсного отклика. Так как входной сигнал, рассмотренный на рисунке, представляет собой прямоугольный импульс с амплитудой 1, то интеграл свертки в каждой текущей точке расчета равен площади импульсного отклика в пределах границ входного прямоугольного импульса (заполнено точками).
Свойства свертки. Для свертки характерны следующие свойства:
Ø 1. Дистрибутивность: h(t) * [a(t)+b(t)] = h(t) * a(t)+h(t) * b(t).
Ø 2. Коммутативность: h(t) * a(t) * b(t) = a(t) * b(t) * h(t).
Ø 3. Ассоциативность: [a(t) * b(t)] * h(t) = h(t) * a(t) * b(t).
Преобразование свертки однозначно определяет выходной сигнал y(t) для установленного значения входного сигнала s(t) при известном значении функции импульсного отклика системы h(t). Обратная задача деконволюции - определение функции s(t) по функциям y(t) и h(t), относится к разряду некорректных, и имеет решение только при вполне определенных условиях. Это объясняется тем, что свертка может существенно изменить частотный спектр сигнала y(t) относительно s(t) и восстановление функции s(t) становится невозможным, если определенные частоты ее спектра в сигнале y(t) полностью утрачены.
Любая практическая система должна быть устойчивой, т.е. для сигналов, конечных по энергии или средней мощности, выходные сигналы также должны быть конечными по этим параметрам. Устойчивость обеспечивается при выполнении условия абсолютной интегрируемости импульсного отклика системы:
|h(t)| dt < ¥.
литература
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.
11. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1975. - 264 с.