Пусть на множестве R определены две алгебраические операции, которые мы будем называть сложением и умножением и обозначать соответственно + и *. Говорят, что умножение обладает свойством (правой) дистрибутивности относительно сложения, если
. (1)
Аналогично определяется свойство левой дистрибутивности. Разумеется, если операция умножения коммутативна, эти свойства равнозначны. В общем случае говоря о свойстве дистрибутивности мы будем подразумевать двустороннюю дистрибутивность. Предположим, что операция ’+’ на R имеет нейтральный элемент, обозначаемый 0. Положив в равенстве (1) y = z = 0, получим: x*0 = x*0 + x*0, откуда, при наличии свойства сокращения для операции ’+’, получаем, что x*0 = 0. Если для элемента y имеется противоположный элемент (-y), то взяв в том же равенстве z = -y, получим: 0 = x*0 = x*y + x*(-y) и, значит, x*(-y) = -x*y.
Определение.
Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом, если
1. (R,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R).
2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.
Дополнительные свойства операции умножения отмечаются с помощью соответствующих прилагательных перед словом кольцо. Так ассоциативное кольцо - это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности. Аналогичный смысл имеет термин коммутативное кольцо. Наличие нейтрального элемента для операции умножения выражают термином кольцо с единицей (этот нейтральный элемент называют единицей и обозначают 
или просто e); При этом дополнительно предполагается, что кроме свойств 1 и 2 выполнено
3. 
0.
Элементы такого кольца R, имеющие обратные относительно операции умножения, называются обратимыми, а их множество обозначается через 
. Отметим, что для ассоциативного кольца с единицей множество является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R. Поскольку в кольце R с единицей 
x*0 = 0 e, элемент 0 из R необратим. В случае ассоциативного кольца не будет обратим и такой элемент y 0, для которого можно найти такое z 0, что y*z = 0. Такой элемент y называется (левым) делителем нуля.
Определение.
Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: 
.
Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.
Примеры колец и полей.
1. Хорошо известными примерами полей являются, конечно, поля R, Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел. Отметим, что любое поле содержит по крайней мере 2 элемента - 0 и e. Этот “минимальный” запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом (отметим только, что e+e=0). Построенное поле из двух элементов обозначается GF(2) (по причинам, которые будут ясны в дальнейшем). Напомним также, что если p - простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Значит, рассматривая группу 
с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF(p).
2. Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Аддитивная группа этого кольца - хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа 
содержит всего 2 элемента 1 и -1 и потому изоморфна 
. Элементы, не входящие в необратимы, хотя и не являются делителями нуля.
3. Пусть R - любое ассоциативное коммутативное кольцо. Множество 
- квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц. Отметим, что кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно. Если R содержит единицу , то матрица Е = diag(, ,..., ),будет единицей кольца матриц. Заметим, что для любой матрицы 
имеет смысл понятие определителя det(A) 
R, причем det(AB)=det(A)det(B). Если det(A) обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц: 
, где 
- присоединенная к А матрица (то есть транспонированная матрица из алгебраических дополнений). Таким образом, 
= 
- группа матриц порядка n с обратимым определителем. В случае поля R это означает, что det(A) 0, то есть матрица невырождена. С другой стороны, в этом случае любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В самом деле, из det(A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы: 
, причем не все коэффициенты нулевые. Построим ненулевую матрицу В, взяв 
в качестве ее первого столбца и считая прочие элементы В нулевыми. Тогда А*В = 0 и значит А - делитель нуля.
4. Пусть снова R любое ассоциативное коммутативное кольцо и x - некоторый символ. Формальная сумма вида p= 
, где 
называется многочленом над кольцом R. Если 
, то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg(p). Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам и они образуют кольцо R[x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p=e будет единицей кольца R[x]. Если R не имеет делителей нуля, то deg(pq)=deg(p)+ deg(q) и потому R[x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени. Отметим, что эта конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных: по определению, R[x,y] =R[x][y] (=R[y][x]).
Определение.
Подмножество 
называется подкольцом, если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.
Это означает, что К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения: 
. Отметим, что если R обладает свойством ассоциативности, коммутативности или отсутствием делителей нуля, то и К обладает теми же свойствами. В то же время, подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2Z 
Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R и K имеют единицы, но они не равны друг другу. Так будет, например, для подкольца 
, состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом; 
=diag(1,1,...,1,0) 
=diag(1,1,...,1).
Определение.
Гомоморфизмом колец 
называется отображение, сохраняющее обе кольцевые операции: 
и 
. Изоморфизм - это взаимно однозначный гомоморфизм.
Ядро гомоморфизма 
- это ядро группового гомоморфизма аддитивных групп 
, то есть множество всех элементов из R, которые отображаются в 
.
Пусть снова - некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) - подгруппа коммутативной группы (R,+), можно образовать факторгруппу R/K, элементами которой являются смежные классы r+K. Поскольку К*К К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r+K)*(s+K) r*s+r*K+K*s+K.
Определение.
Подкольцо К называется идеалом кольца R, если 
: x*K K и K*y K.
Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r+K)*(s+K) содержится в смежном классе r*s+K. Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.
Примеры.
1. Подкольцо nZ является идеалом кольца Z, поскольку для любого целого m m(n Z) n Z. Факторкольцо Z /n Z - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является простым, то Z /n Z имеет делители нуля.
2. Пусть I R [x] - множество всех многочленов 
, у которых 
=0. Удобно записать: I = x R [x]. Поскольку p*I =(p*x) R [x] I, мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент 
. Значит, (q+I)*(s+I) = ( +I)*(
+I) = * +I.
3. В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное кольцо S. Если 
любой его элемент, то множество I=x*S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x. Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x)=S.
4. Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если 
, x 0, то для всякого 
имеем: 
, откуда 
.
5. Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу 
смежный класс r+I, получаем сюръективный гомоморфизм 
. Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.
Замечание.
Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1).
Теорема об ядре.
Ядро гомоморфизма колец является идеалом.
Доказательство.
Пусть - гомоморфизм колец, I =Ker , 
- любой элемент. Тогда, (x*I) = (x)* (I) = (x)*0 =0. Значит, x*I Ker =I. Аналогично проверяется, что I*x I.
Теорема о гомоморфизме для колец.
Пусть 
- сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R/Ker 
. Если эти изоморфные кольца отождествить, то отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем.
Пример.
Пусть K - кольцо многочленов R [x], : K 
C - гомоморфизм, сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i: (p) =p(i). Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде: (
+1)*q(x), где q - любой многочлен. Можно записать: Ker =( +1). По теореме о гомоморфизме 
.