Свободные гармонические электромагнитные колебания в контуре

Лекция 11. Электромагнитные

Колебания

План лекции

11.1. Свободные гармонические электромагнитные колебания в контуре.

11.2. Затухающие электромагнитные колебания.

11.3. Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс.

Свободные гармонические электромагнитные колебания в контуре

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи, напряжения) периодически изменяются и происходят взаимные превращения электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур: цепь, состоящая из последовательно включённых катушки индуктивностью L, конденсатора ёмкостью С и резистора сопротивлением R. Рассмотрим идеализированный колебательный контур (рис. 11.1) сопротивление, которого пренебрежимо мало (R ≈ 0).

Рис. 11.1

Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор заряжают, сообщая его обкладкам заряды ± Q. В начальный момент времени t = 0 (рис. 11.1а) в контуре возникает электрическое поле, энергия которого . Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнёт разряжаться и в контуре потечёт возрастающий со временем ток J. При этом энергия электрического поля будет переходить в энергию магнитного поля, равную . Так как R ≈ 0, то полная энергия и на нагревание не расходуется. Поэтому в момент времени , (рис. 11.1б), когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в ноль, а энергия магнитного поля (следовательно, и ток) достигает наибольшего значения. Начиная с этого момента, ток в контуре начинает убывать (начинает ослабевать магнитное поле катушки) и индуцируется ток, который течёт согласно правилу Ленца в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начинает перезаряжаться возникает электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который, в конце концов, обращается в ноль, а заряд на обкладках конденсатора достигает максимума (рис. 11.1в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис.11.1г) и система к моменту времени t = T придёт в первоначальное состояние (рис. 11.1а). Затем начнётся повторение цикла «разрядка – зарядка» конденсатора. Если бы не было потерь энергии, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, сопровождающиеся взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей.

Согласно закону Ома для контура можно записать JR+U_c=ε_s, где JR – напряжение на резисторе; - напряжение на конденсаторе; - ЭДС самоиндукции (единственная ЭДС действующая в контуре). В итоге имеем =0. Учитывая, что ; , получим дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в контуре

. (11.1)

В данном контуре нет внешних ЭДС и колебания являются свободными. Если R = 0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими и дифференциальное уравнение этих колебаний имеет вид

. (11.2)

Следовательно, можно сделать вывод, что рассматриваемый контур является гармоническим осциллятором и в нём заряд Q совершает гармонические колебания по закону

, (11.3)

где - амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой , называемой собственной частотой колебаний контура и равной

(11.4)

и периодом

. (11.5)

Выражение (11.5) называют формулой Томсона [1], в честь впервые получившего её учёного.

Сила тока в колебательном контуре и напряжение на конденсаторе соответственно равны

(11.6)

. (11.7)

Из (11.3), (11.6) и (11.7) вытекает, что в идеализированном контуре колебание тока опережает на фазе колебания заряда и напряжения на .