Теорема Безу
Теорема. Остаток от деления многочлена 
на многочлен 
равен 
.
Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть 
— остаток.
Это равенство верно при любых значениях 
. Положим 
:
Пусть 
- корень многочлена 
, тогда, по теореме Безу, 
. Возможны два варианта: 1. Число не является корнем многочлена 
, в этом случае называется простым корнем многочлена .
2. Число является корнем многочлена , тогда, применяя теорему Безу уже к , получим 
, 
. Применяя к 
те же рассуждения, придём к выводу: если - корень многочлена , то единственным образом представляется в виде 
, где 
. Число 
в этом случае называется кратностью корня .
Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен при 
имеет хотя бы один корень 
; если кратность этого корня равна 
, то, согласно изложенному, представляется в виде 
, где 
. Если 
, то многочлен 
имеет корень 
, и представляется в виде 
. Если 
, эти выкладки можно продолжить; окончательный вывод формулируется так: любой многочлен степени
при старшем коэффициенте 
единственным (с точностью до порядков сомножителей) образом может быть представлен в виде 
, где 
- (попарно различные) корни многочлена, 
- их кратности, 
- количество различных корней. Общее число корней многочлена с учётом их кратностей равна 
: 
.
34. Многочлены с действительными коэффициентами. В этом разделе мы рассмотрим многочлен 
от комплексной переменной 
, в предположении, что его коэффициенты 
- действительные числа. Сформулируем и докажем ряд свойств такого многочлена.
1.Если 
- число, сопряжённое к числу , то 
. Док-во: Для любого действительного числа 
операция сопряжения не меняет это число: 
, поэтому
2. Если 
- корень многочлена , то 
- тоже корень этого многочлена. Док-во: если 
, то 
.
3. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами , то без остатка делится на квадратный трёхчлен 
, где 
. Док-во: так как числа 
- корни , то представляется в виде 
.
4. Если - корень многочлена кратности , то - корень этого многочлена той же кратности. Док-во: непосредственно следует из утверждений 2,3.
5. Любой многочлен -ой степени может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде
, где
- попарно различные действительные корни этого многочлена, 
- их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней 
кратностей 
) 
с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. 
), 
. Это утверждение непосредственно следует из результатов этого и предыдущего разделов.
6. При выводе предыдущего утверждения мы существенно использовали тот факт, что - комплексная переменная (в частности, когда ссылались на основную теорему алгебры). В то же время в самом полученном представлении многочлена все участвующие величины (кроме ) - действительные числа. Предположим теперь, чтобы переменная принимает только действительные значения, т.е. 
. Тогда утверждение 5 можно переформулировать так: любой многочлен с действительными коэффициентами 
от действительной переменной 
может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде
, где смысл всех параметров описан выше.
Определение. Пусть 
и 
— многочлены, 
. Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде 
, где 
и — многочлены, причем 
.
Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.
Пример. 
.
.
Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем 
, . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что 
и .
Доказательство. Существование.
Пусть 
. Положим 
.
.
Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его 
:
Пусть 
. Положим
Коэффициент при 
в многочлене 
равен 
. Следовательно, 
. Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие 
и , что 
. Тогда
Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.
Единственность. Предположим, что
1) 
. Значит, 
,
2) 
.
Получили противоречие. Этот случай невозможен.
35. Теорема о целых корнях, заключающая в себе
Если целое число α - корень многочлена с целыми коэффициентами, то α - делитель его свободного члена.
Доказательство. Пусть:
P (x)=a0xⁿ +a1xⁿ-1+…+an-1x +an
многочлен с целыми коэффициентами и целое число α −его корень.
Тогда по определению корня выполняется равенство P (α)=0;
a0 αⁿ+a1 αⁿ-1+…+an-1 α +an=0.
Вынося общий множитель α за скобки, получим равенство:
α(a0 αⁿ-1 +a1 αⁿ-2 +…+an-1)+an=0, откуда
an= -α(a0 αⁿ-1 +a1 αⁿ-2 +…+an-1)
Так как числа a0, a1,…an-1, an и α −целые, то в скобке стоит целое число, и, следовательно, an делится, на α, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
На теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочерёдно выписать значения многочленов этих чисел.
2.Дополнительная теорема о целых корнях
Если целое число α−корень многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то α-1−делитель числа P(1), α+1−делитель числа P(-1)
Доказательство. Из тождества
xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ-1+xⁿ-2y+…+ xyⁿ-2+yⁿ-1)
вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для любого многочлена P разность
P (b)-P(c)= (a0bⁿ+a1bⁿ-1+…+an-1b+an)-(a0cⁿ+a1cⁿ-1+…+an-1c+an)=
=a0(bⁿ- cⁿ)+a1(bⁿ-1-cⁿ-1)+…+an-1(b-c)
и, следовательно, для многочлена P с целыми коэффициентами и целых чисел b и c разность P(b)-P(c) делится на b-c.
Затем: при b = α, с=1, P (α)-P (1)= -P(1), а значит, P(1) делится на α-1. Аналогично рассматривается второй случай.
Теорема о рациональных корнях многочлена
Если многочлен
|
с целыми коэффициентами имеет рациональный корень 
то число p является делителем числа 
(свободного члена), а число q является делителем числа 
(старшего коэффициента).
Доказательство
Пусть все коэффициенты многочлена 
являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена. Так как в этом случае 
то отсюда следует, что коэффициент делится на a.
Замечание. Эта теорема фактически позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена − целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут быть только вида где p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).
Схема Горнера
Теорема: Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a0xn+a1xn−1+ 
+an−1x+an =0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a0, а число р является делителем свободного члена an.
Замечание 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
Замечание 2. Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.
Корень многочлена. Корнем многочлена f(x)= a0xn+a1xn−1+ +an−1x+an является x = c, такое, что f(c)=0.
Замечание 3. Если x = c корень многочлена f(x)=a0xn+a1xn−1+ +an−1x+an, то многочлен можно записать в виде: f(x)=(x−c)q(x), где q(x)=b0xn−1+b1xn−2+ +bn−2x+bn−1 это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x - c
Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:
Если f(x)=a0xn+a1xn−1+ +an−1x+an, a0≠0, g(x)=x−c, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид q(x)=b0xn−1+b1xn−2+ +bn−2x+bn−1, где b0=a0,
bk=c 
bk−1+ak, k=1, 2, ,n−1. Остаток r находится по формуле r=c bn−1+an
| a0 | a1 | a2 | ... | an−1 | an | |
| x = c | b0=a0 | b1=c b0+a1
| b2=c b1+a2
| ... | bn−1=c bn−2+an−1
| r=c bn−1+an
|
В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого b0=a0. Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.
Пример. Решить уравнение x3−x2−8x+12=0
| a0=1 | a1=−1 | a2=−8 | a3=12 | ||
| x = 1 | -8 | не корень | |||
| x = -1 | -2 | -6 | не корень | ||
| x = 2 | -6 | корень |
Решение: Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:
Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x3−x2−8x+12=(x−2)(x2+x−6)=0 
(x−2)2(x−3)=0 x=2;x=3
Формула Кардано
Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения
над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.
Любое кубическое уравнение общего вида
при помощи замены переменной
может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами
Формула
Определим Q:
Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:
Дискриминант многочлена 
при этом равен 
.
- D > 0 — три вещественных корня.
- D = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
- D < 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа.
По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:
где
Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений 
необходимо брать такое 
, для которого выполняется условие 
(такое значение всегда существует).
Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения 
.