Энергия свободных незатухающих колебаний

Закон Ньютона

F=mā

ā=F/m

F – равнодействующая сила, равна ∑всех сил.

 

 

Свободные	Вынужденные
незатухающие	затухающие
Силы, действующие в системе, где совершаются колебания
F упр.	F упр., F тр.	F упр., F тр., F вн.
Второй закон Ньютона
mв=F упр	mв=F упр+F тр	mв=F упр+F тр + F вн
Вывод дифференциального уравнения колебания
ma=-kx ma+kx=0 ⃒:m a+kx/m=0	ma=-kx-rV ma+kx+rV= 0⃒:m a+	ma=-kx-rV+ F max * sinщвнеш.t ma+kx+rV= F max * sinщвнеш.t ⃒:m a+
Дифференциальные уравнения колебаний
x”+ щ02x=0	x” + 2вx` + щ02x=0	x” + 2вx` + щ02x= F max * sinщвнеш.t
Решение дифференциальных уравнений. Зависимость x(t)
x= Asin(щ0t + 0)	x= A0 sin(щ03t + 0)	x=Aвнеш*sin(Wвнеш*t+ц0)
Частота, с которой совершается колебания
щ0 – собственная циклическая частота щ0 =	щзатух. – частота затухающих колебаний щзатух. =	щвнеш. – частота внешней периодической силы
Зависимость амплитуды от времени
A = const   A, м       t, c	в2›в 1   A, м   A, c     2 1   0 t, c A = A0	Авнеш=const

Пояснения к таблице:

F_тр= -rV

r – коэффициент трения

[r]=кг/с

V – скорость движения тела

[V]=м/с

Знак «-» показывает, что сила трения направлена против V движения тела.

F_внеш – внешняя периодичекая сила

F_внеш=F_max*sinW_внеш*t

F_max – max значение силы, амплитуда.

W_внеш – частота внешней периодической силы

X – смещение тела от положения равновесия

V=X` – первая производная смещения тела по времени

ā – ускорение тела; [ā]=м/с²

ā=X` – вторая производная смещения тела по времени

k/m=W₀²; W₀ – собственная циклическая частота; [W₀]=рад/с

m*r/m=2β, β – коэффициент затухания; [β]=с^-1

F_max/m=ξ_max

 

 

Свободные затухающие колебания

 

X=A₀*e^-βt sin(W_зt+φ₀)

Для характеристики свободных затухающих колебаний вводят δ (дельта)

δ (дельта) – декремент затухания – величина равная отношению любых 2-х амплитуд отстающих по времени 1πR (величина безразмерная).

Декремент затухания показывает, во сколько раз амплитуда колебаний уменьшается за время одного периода.

 

δ= A₀* e^-βt/A₀* e^-β(t+T) = A₀*e^-βt/ A₀*e^-βt *e^-βT

δ=е à lnδ=βT

lnδ=λ (лямда)

λ – логарифмический декремент затухания (величина безразмерная)

 

· Составление дифференциального уравнения

· Анализ решения, график свободных затухающих колебаний

· Параметры колебаний: коэффициент затухания, частота затухающих колебаний, амплитуда колебаний

· Декремент затухания, логарифмический декремент затухания

 

Вынужденные колебания

 

A _внеш = F_max/√(W₀²-W_внеш²)²+4β²W_внеш²

В системе, где совершается вынужденные колебания, наблюдается резонанс.

Резонанс – это явление достижения амплитудой вынужденного колебания максимального значения.

W_рез=√ W₀²-2β² – формула резонансной частоты (только в идеальных системах).

В идеальной системе (F_тр=0 à β=0)

W_рез=W₀ à A_bà∞

Чем больше β, тем меньше A_b

Резонанс – это резкое возрастание амплитуды вынужденного колебания, при приближении частоты внешней периодической силы к собственной частоте колеблющейся системы.

 

Энергия свободных незатухающих колебаний

Основными виды являются кинетическая и потенциальная энергия. При выведении E_пот

x = A sinω₀t

E кин. = = *cos²ω₀t = (1+cos2ω₀t)

V = x` = A ω₀ cosω₀t

E пот. = =

ω₀² = à k = m * ω₀²

E пот. = (1 – cos2ω₀t)

E = Eкин. + Eпот.

sin² + cos²𝛼 =1

cos²𝛼= (1+ cos2𝛼)

sin² =(1- cos²2𝛼)

E = *(cos²ω₀t + sin²ω₀t) =

Вывод:

Кинетическая и потенциальная E тела совершающего свободные незатухающие колебания с частотой ω₀ изменяется по гармоническому закону с частотой 2ω₀, при этом полная Е тела остаётся величиной постоянной.