Свойства математического ожидания и дисперсии

Дискретная случайная величина и закон ее распределения.

Дискретной случайной величиной называется всякая величина, которая в результате опыта принимает числовое значение:

Пример:

- число очков при бросании игральной кости

- число лепестков на цветке сирени

- температура воздуха в определенное время дня

Так как каждое значение случайной величины встречается с различной частотой, то все значения необходимо рассматривать с вероятностями появления этих значений. Когда известны все значения случайной величины и вероятности их появления, то говорят, что задан закон распределения случайной величины. Закон распределения обычно записывают в виде таблицы:

Х				…
р				…

, , ,… – значения случайной величины (СВ)

, , , …. – соответствующие значения вероятностей СВ

Закон составлен верно, если:

Пример 1:

Составить закон распределения числа очков при бросании игральной кости.

Решение:

Х – число очков при бросании игральной кости

Так как у игральной кости 6 граней, то возможно всего шесть числовых значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Найдем вероятности каждого значения. Вероятность, что выпадет 1 очко, равна . Для остальных значений получим такие же вероятности:

Получаем закон:

Х
р

Проверим правильность выполнения закона: + + + + + = =1

Характеристики случайной величины.

К основным характеристикам случайной величины относят математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины, на соответствующие вероятности этих значений:

Математическое значение показывает среднее значение случайной величины.

Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонений значений случайной величины от их математического ожидания:

Для вычисления дисперсии удобнее пользоваться формулой: , где:

Среднее квадратическое отклонение – это арифметический квадратный корень из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько отклоняются остальные значения случайной величины от среднего.

Пример №2:

Задан закон распределения дискретной случайной величины X (в первой строке указаны возможные значения величины X, во второй строке – вероятности p_i этих возможных значений). Найти математическое ожидание , дисперсию , среднее квадратическое отклонение .

Решение:

Для решения задачи найдем неизвестное р:

Известно, что

1) Математическое ожидание случайной величины:

2). Дисперсию вычислим по формуле:

3) – среднеквадратическое отклонение.

Свойства математического ожидания и дисперсии

Пусть:

Свойства математического ожидания:

Свойства дисперсии:

Пример №3:

Пусть по условию задачи , . Найти: и

Решение:

Применим свойства математического ожидания:

Применим свойства дисперсии:

Задания для самостоятельного решения:

1. Дискретная случайная величина X имеет распределение, представленное таблицей:

Найти р.

2. Найти M(X), D(X), σ(X), зная закон распределения дискретной случайной величины:

3. Даны две случайные величины X и Y, причем M(X) =5, M(Y) =3. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X + 2Y.

4. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=3X+2Y, если известно, что D(X)=5, D(Y)=6.

Ответы для самоконтроля:

1) р =0,2

2 ) М(Х)=7,3 D(Х)=62,91 7,93;

3 ) М(Z)=11;

4 ) D(Z)=69