Тема 16. Адаптивные модели временных рядов

Аннотация. Данная тема раскрывает особенности адаптивных моделей временных рядов.

Ключевые слова. Адаптивная модель, экспоненциальное сглаживание, параметр адаптации.

Методические рекомендации по изучению темы

· Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме.

· В качестве самостоятельной работы предлагается выполнить практические задания и ответить на вопросы для самоконтроля.

· Для проверки усвоения темы имеется тест для самоконтроля.

Рекомендуемые информационные ресурсы:

1. https://tulpar.kpfu.ru/mod/resource/view.php?id=11766

2. Эконометрика: учебник / И. И. Елисеева. – M.: Проспект, 2010. – 288 с. С.200-205.

3.Эконометрика: [Электронный ресурс] Учеб. пособие / А.И. Новиков. - 3-e изд., испр. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2014. - 272 с.: (https://znanium.com/catalog.php?item=booksearch&code=%D1%8D%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0&page=1#none) С. 96-113.

4. Эконометрика. Практикум: [Электронный ресурс] Учебное пособие / С.А. Бородич. - М.: НИЦ ИНФРА-М; Мн.: Нов. знание, 2014. - 329 с. (https://znanium.com/catalog.php?item=booksearch&code=%D1%8D%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0&page=4#none) С.276-278.

5. Эконометрика: учебник / под ред. В. С. Мхитаряна. - М.: Проспект, 2008. -384 с. С.297-325.

6. Электронный курс “Time Series Econometrics”, Princeton University, URL: https://sims.princeton.edu/yftp/Times05/;https://blackboard.princeton.edu/webapps/portal/frameset.jsp?tab_group=courses&url=%2Fwebapps%2Fblackboard%2Fexecute%2FcourseMain%3Fcourse_id%3D_52968_1.

Глоссарий

Коэффициент сезонности – коэффициент, учитывающий в адаптивной модели сезонную составляющую; используется в адаптивных моделях в аддитивной и мультипликативной формах.

Параметр адаптации - параметр сглаживания a, который минимизировал бы ошибку предсказания.

Экспоненциальное сглаживание – процедура, которая приводит к адаптивному механизму, построенному на принципе регулятора с обратной связью.

Вопросы для изучения

1. Адаптация в моделях временных рядов. Построение адаптивных моделей линейного роста.

2. Адаптивные модели с учетом аддитивных и мультипликативных сезонных составляющих.

3. Процедуры подбора параметров адаптивных моделей временных рядов.

Адаптация в моделях временных рядов. Построение адаптивных моделей линейного роста. Примером модели, для которой можно построить различные варианты адаптивных механизмов, как раз и является адаптивный полином первой степени x_t+t=a_1t+ a_2t t+ e_t+t. Ее адаптивный механизм предусматривает расчет оценок текущих (т. е. на данный момент времени) коэффициентов модели по двум рекуррентным соотношениям:

где a₁,a₂ – параметры экспоненциального сглаживания (0<a₁, a₂<1). Используемая в рекуррентных соотношениях процедура экспоненциального сглаживания приводит, как и в случае полинома нулевой степени, к адаптивному механизму, построенному на принципе регулятора с обратной связью.

Адаптивные модели с учетом аддитивных и мультипликативных сезонных составляющих. Модели с мультипликативным коэффициентом сезонности: где a_1t – изменяющийся во времени коэффициент, динамика которого характеризует тенденцию развития процесса;f_t, f_t-1, …, f_t-l+1 – коэффициенты сезонности;l – количество фаз в полном сезонном цикле (при месячных наблюдениях l=12, при квартальных – l=4). Модели с аддитивным коэффициентом сезонности: где g_t, g_t-1, …, g_t-l+1 – адаптивные коэффициенты сезонности. Если моделируемый процесс имеет тенденцию линейного роста, то в указанных моделях член, соответствующий полиному нулевого порядка, заменяется полиномом первого порядка, и тогда модели записываются в следующем виде:

Расчет текущих оценок коэффициентов всех этих моделей осуществляется с использованием принципа экспоненциального сглаживания.

Процедуры подбора параметров адаптивных моделей временных рядов. Основное внимание уделяется выбору такой величины параметра сглаживания a, которая минимизировала бы ошибку предсказания. Выбор величины этого параметра в зависимости от количества наблюдений m, входящих в интервал сглаживания, по формуле: a=2/(m+1) малопригоден для практического использования.

Наиболее часто используемой процедурой подбора оптимальной величины a является метод проб. Общая схема этой процедуры предусматривает деление временного ряда на две части: обучающую и контрольную. Затем по обучающей части при различных a строятся прогнозные модели и делаются расчеты на период, отведенный под контрольную часть. Для каждого a расчетные значения сравниваются с фактическими значениями контрольной части, и определяется среднеквадратическая ошибка прогноза. Оптимальным считается то a*, для которого эта ошибка оказалась минимальной. Все прогнозные расчеты осуществляются с использованием оптимального значения сглаживающего параметра. В тех случаях, когда оптимальный уровень параметра a с течением времени подтвержден изменениями, эффективность этого подхода снижается, так как оптимум по обучающейся части может не совпадать с оптимумом по всему временному ряду. Еще одной интересной процедурой оптимальной настройки изменяющегося во времени параметра сглаживания является метод адаптивного градиентного экспоненциального сглаживания, так как в его основе лежит применение градиентной оптимизации для поиска оптимальных значений параметра a_t в адаптивных моделях, использующих принцип экспоненциального сглаживания.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. В чем заключаются сущность, механизмы и формы адаптации в социально-экономических системах?

2. В чем заключается специфика экспоненциального сглаживания?

3. В чем состоит особенность модели с мультипликативным коэффициентом сезонности?

4. Какова особенность модели с аддитивным коэффициентом сезонности?

5. Как оценивается коэффициент сезонности для модели, учитывающей тенденцию линейного роста?

6. Какие модели включает группа адаптивных моделей с сезонными составляющими?

7. Какие особенности включает процедура подбора сглаживающего параметра методом проб?

8. В чем заключаются особенности процедуры подбора сглаживающего параметра методом градиентной оптимизации?

Задача 1. Имеются данные о потреблении мороженого, тыс. руб.:

Задание: постройте адаптивную модель с линейным трендом и аддитивной сезонной компонентой для прогнозирования потребления мороженого.

Лекция 19