Задание 1
Найти указанные пределы:
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
Задание № 2
Найти производные, пользуясь правилами и формулами дифференцирования:
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
Задание № 3
Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
 
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
Контрольная работа № 2
Решение типовых примеров
Задание № 1
1. Найти неопределенный интеграл 
Решение. Применим подстановку 
, тогда 
и
;
2. Найти интеграл 
.
Решение. Применим подставку t =3 x 3 – 5.
Тогда 
; 
, откуда
.
Задание № 2
Найти интеграл 
Решение. Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла следующим образом:
x 2 – 6 x +13 = x 2 – 6 x + 9 + 4 = (x - 3)2 + 22. Тогда после подстановки t = x - 3 получаем
причем, при вычислении интеграла 
воспользуемся заменой переменной z = t 2+4, тогда dz = 2 tdt, откуда
.
Итак, учитывая, что t = x – 3, имеем
.
Задание № 3
1. Найти интеграл 
.
Решение. Применим формулу интегрирования по частям
Положим
u = 3 x +7, dv = cos5 xdx,
тогда
du = 3 dx, 
.
Следовательно,
|
|
.
2. Найти интеграл 
.
Решение.
Положим
u = arctg 4 x, dv = dx,
тогда
v = x.
Отсюда
.
Применяя в последнем интеграле подстановку t = 1+16 x 2,
получаем, 
, следовательно,
.
Отсюда 
.
Задание № 4
Вычислить площадь, ограниченную параболами
y = 2 x 2 – x – 2,
y = - x 2 + x – 1.
Решение.
Рисунок 2 – График построения парабол
Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:
2 x 2 – x – 2 = - x 2 + x – 1. Отсюда 3 x 2 – 2 x – 1 = 0, D = 4 + 4∙3 = 16,
, 
Вычисление площади осуществляем по формуле:
,
где f 1(x), f 2(x) – кривые, ограничивающие фигуру (f 2(x) ³ f 1(x)).
В нашем случае
Распределение заданий
Таблица 2 – Распределение заданий для контрольной работы № 2
| Предпоследняя цифра шифра | № задания | Последняя цифра шифра | |||||||||
| 2 4 | |||||||||||
| 1 4 | |||||||||||
| 1 7 | |||||||||||
Задания к контрольной работе № 2
Задание №1
Найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены переменной)
|
|
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Задание №2
Найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
Задание № 3
Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
| 
| ||||
Задание № 4
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Теоретические вопросы
1. Понятие предела функции в точке и в бесконечности.
2. Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.
3. Непрерывность функции в точке и на интервале.
4. Определение производной, ее геометрический смысл.
5. Правила вычисления производной. Таблица производных.
6. Исследование функции на интервалы монотонности. Точки экстремума.
|
|
7. Исследование функции на интервалы выпуклости. Точки перегиба.
8. Асимптоты кривой.
9. Общая схема исследования функции.
10. Дифференциал функции.
11. Применение дифференциала к приближенным
вычислениям.
12. Первообразная функции и неопределенный интеграл.
13. Правила вычисления неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
14. Методы вычисления неопределенного интеграла.
15. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
16. Основные свойства определенных интегралов.
17. Методы вычисления определенного интеграла.
18. Вычисление площадей плоских фигур.
19. Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина.
20. Сумма и произведение событий, теоремы сложения и умножения вероятностей.
21. Дискретные случайные величины. Ряд, многоугольник и функция распределения.
22. Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения.
23. Формула полной вероятности.
24. Числовые характеристики случайных величин: дисперсия; и среднеквадратичное отклонение.
25. Понятия: группа, выборка, генеральная совокупность.
26. Эмпирическая функция распределения.
27. Вариационный ряд. Полигон частот и гистограмма
28. Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.
Приложения
Справочные материалы
Правила дифференцирования:
Производная сложной функции:
Таблица производных основных элементарных функций и производных сложных функций
| y = f (x) | y ¢ = f ′(x) | y = f (u), u = j(х) | у ¢ = f ′(u)× u ¢ |
| y = x a | (x a)¢ = a× x a-1 | y = u a | y ¢ = a× u a-1× u ¢ |
| 
| y = 
| 
|
| 
| 
| 
|
| y = ax | (ax)¢ = ax ×ln a | y = au | y¢ = au ×ln a×u ¢ |
| y = e x | (e x)¢ = e x | y = e u | y¢ = e u × u ¢ |
| y = log ax | (log ax)¢ 
| y =log au | 
|
| y = ln x | 
| y = ln u | 
|
| y = sin x | (sin x)¢ = cos x | y = sin u | y ¢ = cos u × u ¢ |
| y = cos x | (cos x)¢ = -sin x | y = cos u | y ¢ = -sin u × u ¢ |
| y = tg x | 
| y = tg u | 
|
| y = ctg x | 
| y = ctg u | 
|
| y = arcsin x | 
| y = arcsin u | 
|
| y = arccos x | 
| y = arccos u | 
|
| y = arctg x | 
| y = arctg u | 
|
| y = arcctg x | 
| y = arcctg u | 
|
Таблица основных интегралов
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|