Тема 5. Показатели вариации

Основные понятия

Ряд распределения характеризует состав, структуру совокупности по определенному признаку. Элементами ряда распределения являются варианты – значения признака x_iи частоты f_i. В зависимости от статистической природы вариантов ряды делятся на атрибутивные и вариационные. В соотношении вариантов и частот проявляется закономерность распределения. Она описывается рядом статистических характеристик, в частности:

а) частотные характеристики;

б) характеристики центра распределения;

в) характеристики вариации;

г) характеристики неравномерности распределения, концентрации, асимметрии.

Частотными характеристиками любого ряда являются абсолютная численность i-й группы – частота f_i и относительная частота – частость d_i.

Мода М₀ – это наиболее распространенное значение признака, т.е. варианта, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту (частость).

В дискретному ряду М₀определяется визуально по максимальной частоте, или частости. Например, в результате опроса населения относительно самоопределения материального состояния по четырем градациям (хорошее, удовлетворительное, неудовлетворительное, нестерпимое) большинство респондентов определили свое состояние как неудовлетворительное. Или в распределении современных семей по количеству детей наиболее распространенными являются малодетные семьи, имеющие 1 ребенка. Встречаются ряды, которые имеют две моды (бимодальный ряд) или несколько (полимодальный). Например, на фондовом рынке одинаково высоким спросом пользуются как наиболее дешевые акции, так и дорогие. В интервальном ряду понаибольшей частоте определяется модальный интервал. Конкретное значение моды в интервале вычисляется по формуле

,

где x₀и h – соответственно нижняя граница и ширина модального интервала;

– частоты (частости) модального, предмодального и послемодального интервала.

По данным таблицы 5.1 наибольшим спросом пользуются облигаци со сроком обращения в интервале 4–6 месяцев. Это модальный интервал, ширина которого h=2, нижняя граница x₀=4, частота , предмодальная частота , а послемодальная . Модальный срок обращения облигаций составляет

Таблица 5.1

Срок обращения, мес. х	Количество проданных гособлигаций, тыс. fi	Кумулятивная частота, тыс.	xi	Xi fi
До 2
2–4
4–6
6–8
8–10
10 и больше
Всего		--	--

Медиана Ме – это варианта, которая приходится на середину упорядоченного ряда распределения и делит его на две равные по объему части. Медиана, как и мода, не зависит от крайних значений вариант, поэтому применяется для характеристики центра в ряду распределения с неопределенными границами. Для определения Meряда используют кумулятивные частоты или частости . В дискретном ряду медианой будет значение признака, для которого кумулятивная частота превышает половину объема совокупности , или кумулятивная частость . В интервальном ряду таким способом определяется медианный интервал. Конкретное значение медианы в интервале вычисляется по формуле

где x₀ и h – соответственно нижняя граница и ширина медианного интервала; – частота медианного интервала; – кумулятивная частота предмедианного интервала.

По данным табл. 5.1 половина объема совокупности проданных облигаций .

Следовательно, кумулятивная частота означает, что пятидесятая с начала ряда облигация будет находиться в интервале 4–6 с частотой . Медианный срок обращения проданных облигаций составляет

.

Поэтому половина облигаций продавались со сроком обращение меньше, чем полгода – 5,5 мес., а половина – больше 5,5 мес.

В симметричных рядах распределения значения моды и медианы совпадают со средней величиной (),а в умерено асимметричных они соотносятся таким образом: .

В приведенном примере в табл. 5.1 соотношения характеристик центра распределения облигаций по сроку обращения свидетельствует об умеренной асимметрии: .

В анализе закономерностей распределения используются также другие порядковые характеристики: квартили и децили.

Квартили Q – это значение вариант, которые делят упорядоченный ряд по объему на четыре равных части, децили D– на десять равных частей. Следовательно, в ряду распределения определяются три квартили и девять децилей. Медиана является в то же время вторым квартилем и пятым децилем. Расчет квартилей и децилей основывается на кумулятивных частотах (частостях). Например, первый и третий квартили определяются по формулам:

первый квартиль:

третий квартиль:

Первый и девятый децили вычисляются по формулам:

Следовательно, в ряду распределения проданных облигаций первая квартиль составляет 3,5 мес., а третья – 7,6 мес., т.е. в 25% облигаций, проданных на вторичном рынке, срок обращения не превышает 3,5 мес., а в 75% проданных облигаций с длительным сроком обращения минимальный срок обращения равнялся 7,6 мес.

Значения децилей указывают на то, что среди 10%" проданных облигаций с наименьшим сроком обращения, наиболее длительный срок составляет 1,3 мес., а среди 10%) облигаций с длительным сроком обращения минимальный срок – 9,8 мес., т.е. в 7,5 раза больший.

Для измерения и оценки вариации используют абсолютные и относительные характеристики. К абсолютным относятся: вариационный размах, среднее линейное и среднее квадратичное отклонения, дисперсии; относительные характеристики представлены рядом коэффициентов вариации, неравномерности, локализации, концентрации.

Вариационный размах характеризует диапазон вариации, это разница между максимальным и минимальным значениями признака: . Если крайние значение признака нетиповые для совокупности, то используют квартильные или децильные размахи. Квартильный размах охватывает 50% объема совокупности, децильный – 60%, децильный – 80%.

Обобщающей мерой вариации является среднее отклонение индивидуальных значений признака от центра распределения. Поскольку алгебраическая сумма отклонений то в расчетах используют или модули или квадраты отклонений. Средний из модулей отклонений называют средним линейным отклонением ; средний квадрат отклонений – дисперсией , корень квадратный из дисперсии – средним квадратичным отклонением :

По первичным, несгруппированным данным приведенные характеристики вариации рассчитываются по принципу невзвешенной средней, т.е.:

.

Среднее линейное и среднее квадратичное отклонение:

– именуемые числа (в единицах измерения признака);

– по содержанию идентичные, однако через математические свойства . В симметричном, близком к нормальному, распределении .

Дисперсию используют не только для оценки вариации, но и при измерении взаимосвязей, для проверки статистических гипотез и тому подобное. Для признаков метрической шкалы расчет дисперсии ведется по формулам:

.

Как и любая средняя, дисперсия имеет определенные математические свойства:

а) если все значения признака x_iуменьшить (увеличить) на определенную величину, дисперсия не изменится;

б) если все значения признака изменить в Краз, то дисперсия изменится в К²раз;

в) в случае замены частот частостями дисперсия не изменится.

Для альтернативного признака, вариация которой имеет два взаимоисключающих значения – "1" и "О", а распределение характеризуется соответственно двумя частостями – d₁ и d₀, дисперсия рассчитывается как произведение частостей .

В табл. 5.2 приведен расчет абсолютных характеристик вариации на примере срока обращения облигаций.

Таблица 5.2

Срок обращения облигаций, мес.	f	xi
До 2			- 4,6	69,0	317,40
2–4			- 2,6	33,8	87,88
4–6			- 0,6	17,4	10,44
6–8			1,4	30,8	43,12
8–10			3,4	40,8	138,72
10 и больше			5,4	48,6	262,44
Всего		--	--	240,4	860,00

 

Средний срок обращения облигаций 5,6 мес.; среднее линейное отклонение составляет = 240,4:100 = 2,4 мес.; дисперсия – = 860:100 = 8,6; среднее квадратичное отклонение – мес.

Частость облигаций со сроком обращения меньше 2 мес. составляет d₁= 0,15. Дисперсия частости = 0,15(1-0,15) = 0,1275.

Сравнивая вариации различных признаков или одного признака в различных совокупностях, используют относительные характеристики вариации. Коэффициенты вариации рассчитываются как отношение абсолютных, именованных характеристик вариации () к центру распределения и часто выражаются процентами, следовательно:

1) линейный коэффициент вариации ;

2) квадратичный коэффициент вариации ;

3) коэффициент осцилляции .

Например, по данным выборочных обследований домохозяйств, средние расходы на питание на душу населения составляли 80 грн.; на приобретение промышленных товаров – 35; дисперсии соответственно – 256 и 196. Сравнить степень вариации расходов домохозяйств на питание и приобретение промышленных товаров можно при помощи квадратичного коэффициента вариации:

расходы на питание

;

расходы на приобретение промышленных товаров

.

Следовательно, степень вариации расходов на приобретение промышленных товаров значительно выше.

Квадратичный коэффициент вариации используют как критерий однородности совокупности. В симметричном, близком к нормальному, распределении V _s =0,33.