Свойства дифференцируемых функций.

Часть 1. Предлагаемые задачи, состоят из нескольких род­ст­вен­ных друг другу вопросов. На каждый из вопросов можно дать один из двух ответов: «Да» или «Нет».

1. Пусть . Справедливо утверждение:

1) выпукла вниз в интервале . Да.

2) убывает на отрезке . Нет.

3) имеет минимум в точке . Да.

4) График имеет асимптоту . Нет.

 

2. Дана функция . Тогда верны следующие утверждения:

5) Функция имеет минимум в точках и . Да.

6) точка максимума. Нет.

7) Функция выпукла вниз на промежутке . Нет.

8) Функция возрастает на промежутке . Да.

 

3. Дана функция . Тогда верны следующие утверждения:

1) Количество точек экстремума равно двум. Нет.

2) Функция является выпуклой вверх на промежутке . Да.

3) . Нет.

4) Функция имеет две точки минимума. Да.

4. Верны ли утверждения?

1) Для функции на промежутке вы­пол­­нены условия теоремы Ролля. Нет.

2) Для функции на промежутке вы­пол­не­ны условия теоремы Ролля. Нет.

3) Для функции на промежутке выполнены условия теоремы Ролля. Да.

4) Для функции существует про­ме­жу­ток, на котором выполнены условия теоремы Ролля. Да.

5. На промежутке теорема Коши мо­жет быть справедлива для функций:

1) и . Нет	2) и . Нет
3) и . Да	4) и.Нет

6. Верны ли утверждения?

1) Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на промежутке , тогда она удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на этом промежутке. Да.

2) Пусть функция определена и дважды диффе­рен­ци­руема на про­межутке тогда эта функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке . Да.

3) Пусть функция определена и дважды дифферен­ци­руема на про­межутке тогда эта функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке . Нет.

4) Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке , тогда она удовлетворяет условиям этой теоремы на промежутке . Да.

 

 

7. Дана функция . Верны ли ут­вер­ждения?

1) На промежутке функция возрастает; Да

2) На промежутке функция выпукла вверх; Нет

3) На промежутке функция имеет минимум; Нет

4) На промежутке функция имеет максимум Нет

8. Пусть функция имеет в окрестности начала координат вторую производную. Верны ли утверждения?

1) Если - четная функция, то может быть четной функцией. Да

2) Если - четная функция, то не может иметь экстремума в начале координат. Нет

3) Если - четная функция, то может иметь экстремум в начале координат. Нет

4) Если - четная функция, то может иметь точку перегиба в начале координат. Да

 

 

9. Верны ли утверждения?

1) при. Да	2) при.Нет
3) ,при. Нет	4) ,при . Да

 

10. Пусть дана производная всюду непрерывной функции . Тогда для функции верно утверждение:

1) точка минимума. Да.

2) точка максимума. Да.

3) точка минимума. Да.

4) Точек экстремума нет. Нет.

 

 

11. Пусть дана производная всюду непрерывной функции . Тогда для функции верно утверждение:

5) точка максимума. Нет.

6) точка минимума. Не.

7) точек экстремума нет. Да.

8) точка максимума. Нет.

 

12. Пусть дана производная всюду непрерывной функции

. Тогда для функции справедливы утверждения?

1) Точек экстремума нет. Нет

2) точка минимума. Да

3) точка максимума, Нет

4) точка минимума. Нет

13. Пусть дана производная всюду непрерывной функции

. Тогда для функции справедливы утверждения?

5) Точек экстремума нет. Нет

6) точка максимума. Да

7) точка минимума. Да

8) точка максимума. Нет

 

Часть 2. В каждом следующем задании предлагаются несколько утверждений. Необходимо выбрать верное утверждение из предлагаемого набора альтернатив.

 

14. Используя график функции

можно утверждать, что в точке … угол наклона касательной к функции наибольший.

А)

*Б)

В)

Г)

15. Пусть непрерывно диф­ферен­циру­е­мая функция, график производной которой имеет вид:

Тогда наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке …

*А)

Б)

В)

Г)

16. Завершите фразу: если на отрезке производная функции равна , то на этом отрезке функция

А)возрастает	*Б)убывает
В)имеет максимум	Г)имеет минимум

 

17. Точка является точкой перегиба функции , если …

А) не существует

*Б) и меняет знак при переходе через

В) и меняет знак при переходе через

Г) и меняет знак при переходе через

18. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид…

А)

*Б)

В)

Г)

19. Касательной к графику функции является прямая линия:

А) .

Б) .

*В)

Г)

20. Касательной к графику функции является прямая линия:

*А) .

Б) .

В)

Г)

21. Пусть функция определена на отрезке и удовлетворяет следующим условиям А), Б), В), Г). Тогда утвер­жде­ние теоремы Ролля для функции остается спра­вед­ливым и без условия ….

А) непрерывна на	Б) дифференцируема на
*В) непрерывна на	Г)

22. Для функции условия те­о­ремы Ролля не выполнены на отрезке…

*А)

Б)

В)

Г)

23. Пусть на отрезке задана строго мо­но­тон­ная дважды дифференцируемая функция с монотонной про­изводной, для которой и . Тогда верно утверждение: функция …

А) строго убывает и выпукла вверх;

*В) строго убывает и выпукла вниз;

Б) строго возрастает и выпукла вниз;

Г)строго возрастает и выпукла вверх.

24. Пусть на отрезке задана строго мо­но­тон­ная дважды дифференцируемая функция с монотонной про­изводной, для которой и . Тогда верно ут­вер­ж­дение: функция может иметь график …

А)

*Б)

В)

Г)

25. Пусть функция определена и диф­фе­рен­ци­руема в окрестности точки и выполнены следующие условия: ; при ; при . Тогда …

А)функция имеет в точке локальный максимум;

В)функция в точке локального экстремума не имеет;

*Б)функция имеет в точке локальный ми­ни­мум;

Г)поведение функции в точке не­опре­деленно.

26. Пусть функция определена, дважды диф­­­фе­рен­цируема в окрестности точки и выполнены сле­ду­ю­щие условия: ; при каждом ; при каждом . Тогда в точке …

А)функция имеет локальный максимум

В)функция не имеет перегиба

Б)функция имеет локальный ми­ни­мум

*Г)функция имеет перегиб

27. Пусть функция определена и ди­ф­­­­­­­­фе­рен­цируема в окрестности точки . Тогда необходимым условием перегиба графика функции в этой точке будет условие…

А)

Б)

*В)

Г)

28. Пусть на множестве задана непрерывная функция с множеством значений . Тогда на множестве есть обратная к функция, если функция ….

А) имеет экстремум	Б) ограниченная
*В) монотонная	Г) периодическая.

 

29. Сумма функций, одна из которых во­з­рас­тающая, а другая неубывающая, есть функция...

А) невозрастающая	*Б)возрастающая
В) неубывающая	Г) убывающая.

30. Пусть функция задана на мно­жес­тве . Тогда функция обратная к функ­ции существует, если множество имеет вид:

А)	*Б)
В)	Г)

31. Функция …

А)возрастает на , убывает на

В) убывает на , возрастает на

*Б) возрастает на

Г) убывает на

32. Пусть сумма трех сторон прямоугольника равна . Тогда наибольшая площадь этого прямоугольника рав­на…

А)

*Б)

В)

Г)

33. Вставьте пропущенные выражения в пред­ло­же­ние, выражающее определение строго локального мак­си­му­ма функции.

(1) … называется точкой строго локального максимумафун­к­ции , если (2) … (3) …точки (4) …

 

1.1.точка	3.1.из некоторой окрестности
1.2.точка	3.2.из любой окрестности
2.1.для всех ,	4.1.выполняется неравенство
2.2.для некоторых	4.2.выполняется неравенство

 

А) 1.2.; 2.1.; 3.1; 4.2.	Б) 1.1.; 2.2.; 3.1; 4.2.
*В) 1.1.; 2.1.; 3.1; 4.2.	Г) 1.1.; 2.1.; 3.2; 4.2.

 

34. Дан график производной некоторой функции , определенной на интервале:

 

Справедливы следующие утверждения…

*А) на промежутке функция возрастает;

*Б) в точке функция имеет минимум;

В) в точке функция имеет максимум;

Г) на промежутке функция убывает;

 

35. Дан график производной некоторой функции , определенной на интервале:

Справедливы следующие утверждения…

А) в точке функция имеет минимум

Б) на промежутке функция убывает

*В) на промежутке функция возрастает

*Г) на отрезке функция имеет максимум

36. Дан график производной некоторой функции , определенной на интервале:

Справедливы следующие утверждения…

А) на промежутке функция убывает

*Б) в точке 1 функция имеет максимум

*В) на промежутке функция возрастает

Г) в точке функция имеет минимум

 

 

37. Дан график производной некоторой функции , определенной на интервале:

Справедливы следующие утверждения…

*А) на промежутке функция возрастает

*Б) на промежутке функция имеет минимум

В) в точке функция имеет максимум

Г) на промежутке функция возрастает

 

38. Дан график производной некоторой функции , определенной на интервале:

Справедливы следующие утверждения…

А) на промежутке функция убывает

Б) на промежутке функция имеет максимум

*В) в точке функция имеет максимум

*Г) на промежутке функция возрастает

 

39. Дан график производной некоторой функции , определенной на интервале:

Справедливы следующие утверждения…

*А) на промежутке функция возрастает

Б) в точке функция имеет минимум

В) на промежутке функция имеет максимум

Г) на промежутке функция убывает

40. Пусть функция определена на отрезке и удовлетворяет следующим условиям А), Б), В), Г). Тогда утвер­жде­ние теоремы Ролля для функции остается справедливым и без условия ….

А) непрерывна на	Б) дифференцируема на
*В) непрерывна на	Г)

41. На отрезке условия теоремы Ролля не выполнены для функции:

*А)	Б)
В)	Г)

42. Для функции условия те­о­ремы Ролля не выполнены на отрезке…

*А)

Б)

В)

Г)

 

43. Пусть имеет непрерывную вторую производную , при всех , тогда при всех справедливо неравенство …

А)	*Б)
В)	Г)

 

44. Пусть и дважды диф­ферен­ци­ру­емые функции на всей оси. Тогда если для всех , то для всех справедливо неравенство …

А)	Б)
*В)	Г)

45. Дана функция . Тогда количество точек перегиба этой функции равно …

А)

Б)

*В)

Г)

 

46. Дана функция . Тогда количество точек перегиба этой функции равно …

*А)

Б)

В)

Г)

Часть 3. На каждое из заданий этой части Вы можете дать ответ в виде по­ло­жи­тель­ного или отрицательного числа.

47. Касательная к параболе , параллельна прямой , пересекает ось в точке, ордината которой равна … Ответ:-6.

 

48. Значение в точке максимума функции равно…

Ответ:-2.

49. Предприятие производит единиц продукции в месяц и реализует весь произведенный объем продукции по цене за единицу. Суммарные издержки производства составляют: Определить при каком объеме производства прибыль будет максимальной. Ответ: 240.

50. Пусть задана функция и пусть функция, обратная к , тогда равно … Ответ:1/5.

51. Максимальная длина промежутка, на котором функция убывает, равна … Ответ: 1.

52. Максимальная длина промежутка, на котором функция убывает, равна … Ответ: 3.

53. Минимум функции , если равен … Ответ: 27/8.

54. Максимум функции равен … Ответ: 1.

55. Максимум функции равен … Ответ: 1.

56. Максимум функции , если равен … Ответ: -40,5.

57. Минимум функции , если равен … Ответ: 9.

58. Минимум функции , если равен … Ответ: 3.

59. Минимум функции , если равен … Ответ: 18.

60. Минимум функции , если равен … Ответ: 54.

61. Минимум функции , если равен … Ответ: 12.

62. Максимум функции , если равен … Ответ: -4.

63. Найти значение параметра , при котором функция имеет максимум в точке с абсциссой . Ответ:0,4.

 

64. Максимальная длина промежутка, на котором функция

убывает, равна … Ответ: 1.

65. Максимальная длина промежутка, на котором функция

возрастает, равна … Ответ: 5.

66. Максимальная длина промежутка, на котором функция

убывает, равна … Ответ: 3.

67. Максимальная длина промежутка, на котором функция возрастает, равна … Ответ: 4.

68. Максимальная длина промежутка, на котором функция

возрастает, равна … Ответ: 1.

69. Максимальная длина промежутка, на котором функция

возрастает, равна … Ответ: 2.

70. Максимальная длина промежутка, на котором функция

убывает, равна … Ответ: 3.

71. Максимальная длина промежутка, на котором функция

возрастает, равна … Ответ: 3.

72. Максимальная длина промежутка, на котором функция

возрастает, равна … Ответ: 4.

73. Максимальная длина промежутка, на котором функция

убывает, равна … Ответ: 1.

74. Точка перегиба функции равна … Ответ: -3.

75. Точка перегиба функции равна … Ответ: 2.

76. Точка перегиба функции равна … Ответ: 1.

 

77. Функция имеет перегиб в точке , если равно… Ответ: 6.

78. Максимум функции , если равен …

Ответ: 1.

79.. Максимум функции , если равен …

Ответ: 3.

80. Максимум функции , если равен …

Ответ: 5.

81. Минимум функции , если равен … Ответ: -4.

82. Минимум функции , если равен … Ответ: 1.

 

83. Максимум функции , если равен … Ответ:4.

84. Максимум функции , если равен … Ответ: 2.

 

85. Минимум функции , если равен … Ответ: 4.

86. Максимум функции , если равен … Ответ: -4.

87. Минимум функции , если равен … Ответ: 1.

88. Минимум функции , если равен … Ответ: 2.

 

89. Максимум функции , если равен … Ответ: -4.

90. Максимум функции , если равен … Ответ: -1.

 

91. Максимум фу